공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

자리수 합 비의 최대

문제

자연수 nn에 대하여 nn의 각 자리수를 모두 더한 수를 ss라고 할 때, f(n)=ns\displaystyle f ( n ) = \frac{n}{s}이라고 하자. 예를 들면, f(25)=252+5=257\displaystyle f ( 25 ) = \frac{25}{2 + 5} = \frac{25}{7}이다. 1010의 배수가 아닌 두 자리의 자연수 중에서 f(n)f ( n )의 값이 최대인 nn의 값을 구하시오. [3점]

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91

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해설

n을 십의 자리의 숫자가 a(a=1, 2, 3, …, 9), 일의 자리의 숫자가 b(단, b≠0)인 10의 배수가 아닌 두 자리의 자연수라 하면 n=10a+b, s=a+b ∴ f(n)=10a+ba+b\displaystyle f ( n ) = \frac{10 a + b}{a + b}=10−9ba+b\displaystyle = 10 - \frac{9 b}{a + b} 여기서 f(n)f ( n )의 값이 최대인 경우는 9ba+b\displaystyle \frac{9 b}{a + b}가 최소값을 가질 때, 즉 a=9a = 9, b=1b = 1일 때이다. 따라서, f(n)f ( n )의 값이 최대인 n의 값은 n=10⋅9+1n = 10 \cdot 9 + 1=91= 91

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#자연수#최대값

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