미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

작은 정사각형 개수의 극한

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 22인 정사각형 A\mathrm{A}와 한 변의 길이가 11인 정사각형 B\mathrm{B}는 변이 서로 평행하고, A\mathrm{A}의 두 대각선의 교점과 B\mathrm{B}의 두 대각선의 교점이 일치하도록 놓여있다. A\mathrm{A}와 A\mathrm{A}의 내부에서 B\mathrm{B}의 내부를 제외한 영역을 R\mathrm{R}라 하자.

22 이상인 자연수 nn에 대하여 한 변의 길이가 1n\displaystyle \frac{1}{n}인 작은 정사각형을 다음 규칙에 따라 R\mathrm{R}에 그린다.

(가) 작은 정사각형의 한 변은 A\mathrm{A}의 한 변에 평행하다. (나) 작은 정사각형들의 내부는 서로 겹치지 않도록 한다.

이와 같은 규칙에 따라 R\mathrm{R}에 그릴 수 있는 한 변의 길이가 1n\displaystyle \frac{1}{n}인 작은 정사각형의 최대 개수를 ana _{n}이라 하자. 예를 들어, a2=12,a3=20a _{2} = 12 , a _{3} = 20이다. lim⁡n→∞a2n+1−a2na2n−a2n−1=c\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{2 n + 1} - a _{2 n}}{a _{2 n} - a _{2 n - 1}} = c}라 할 때, 100c100 c의 값을 구하시오. [4점]

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해설

수열 {a2n}\left\{ a _{2n} \right\}에서 n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots을 구하기 위해 정사각형의 최대 개수를 직접 세어 보면 a2=42−22=12a _{2} = 4 ^{2} - 2 ^{2} = 12 a4=82−42a _{4} = 8 ^{2} - 4 ^{2} a6=122−62a _{6} = 12 ^{2} - 6 ^{2} ⋮ ∴a2n=(2÷12n)2−(1÷12n)2\displaystyle \therefore a _{2 n} = \left( 2 \div \frac{1}{2 n} \right) ^{2} - \left( 1 \div \frac{1}{2 n} \right) ^{2}=(4n)2−(2n)2= ( 4 n ) ^{2} - ( 2 n ) ^{2}=12n2= 12 n ^{2} 또한, 수열 {a2n+1}\left\{ a _{2n+1} \right\}의 일반항도 구해보면 a3=(32−22)×4=20a _{3} = ( 3 ^{2} - 2 ^{2} ) \times 4 = 20 a5=(52−32)×4a _{5} = ( 5 ^{2} - 3 ^{2} ) \times 4 a7=(72−42)×4a _{7} = ( 7 ^{2} - 4 ^{2} ) \times 4 ⋮ a2n+1={(2n+1)2−(n+1)2}×4a _{2n+1} = \left\{ ( 2 n + 1 ) ^{2} - ( n + 1 ) ^{2} \right\} \times 4=(3n2+2n)×4= ( 3 n ^{2} + 2 n ) \times 4=12n2+8n= 12 n ^{2} + 8 n ∴lim⁡n→∞a2n+1−a2na2n−a2n−1\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{2 n + 1} - a _{2 n}}{a _{2 n} - a _{2 n - 1}} =lim⁡n→∞(12n2+8n)−12n212n2−{12(n−1)2+8(n−1)}\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{( 12 n ^{2} + 8 n ) - 12 n ^{2}}{12 n ^{2} - \left\{ 12 ( n - 1 ) ^{2} + 8 ( n - 1 ) \right\}} =lim⁡n→∞8n16n−4=12=c\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{8 n}{16 n - 4} = \frac{1}{2} = c ∴100c=100×12=50\displaystyle \therefore 100 c = 100 \times \frac{1}{2} = 50

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