재귀수열의 대소비교와 극한 참거짓

$\displaystyle f ( x ) = \sqrt{3 x + 3} - 1$이라 하면 $f ( a _{1} ) = a _{2}$, $f ( a _{2} ) = a _{3}$, …, $f ( a _{n} ) = a _{n+1}$이므로 곡선 $y = f ( x )$와 직선 $y = x$를 그려서 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 특징을 알아낼 수 있다.

㉠ 위의 그림에서 $a _{1} > a _{2} > a _{3} > \cdots$이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} > a _{n+1}$이다. (참) ㉡ 위의 그림에서 $a _{1} = 4$이고 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n} = 2}$이므로 ㉠에 의해 모든 자연수 $n$에 대하여 $2 < a _{n} < 5$이다. (참) ㉢ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 3 ^{\sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{2 ^{k}}} \cdot 5 ^{\frac{1}{2 ^{n}}} \right)}$에서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{2 ^{k}} = \frac{\frac{1}{2} \left\{ 1 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} \right\}}{1 - \frac{1}{2}}$$\displaystyle = 1 - \frac{1}{2 ^{n}}$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 3 ^{\sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{2 ^{k}}} \cdot 5 ^{\frac{1}{2 ^{n}}} \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 3 ^{1 - \frac{1}{2 ^{n}}} \cdot 5 ^{\frac{1}{2 ^{n}}} \right)}$$= 3 \cdot 5 ^{0} = 3$ 이고, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} = 2$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} \ne \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 3 ^{\sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{2 ^{k}}} \cdot 5 ^{\frac{1}{2 ^{n}}} \right)}$ (거짓) 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉡이다.