자취 위에서 y좌표가 최대인 점

점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $( x , y )$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} = \mathit{2} \overline{\mathrm{PB}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} ^{2} = 4 \overline{\mathrm{PB}} ^{2}$ $( x + 4 ) ^{2} + y ^{2} = 4 \left\{ ( x - 2 ) ^{2} + y ^{2} \right\}$ $x ^{2} + 8 x + 16 + y ^{2} = 4 x ^{2} - 16 x + 16 + 4 y ^{2}$ $3 x ^{2} + 3 y ^{2} - 24 x = 0$ $x ^{2} + y ^{2} - 8 x = 0$ $( x - 4 ) ^{2} + y ^{2} = 16$ 즉, 도형 $C$는 중심이 $( 4 , 0 )$이고 반지름의 길이가 $4$인 원이다. $y$좌표가 가장 큰 점은 중심에서 위로 반지름만큼 떨어진 점이므로 $( 4 , 4 )$ 즉, $a = 4$, $b = 4$ 따라서 $a + b = 8$이다. (검산: 점 $( 4 , 4 )$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} = \sqrt{8 ^{2} + 4 ^{2}} = 4 \sqrt{5}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{PB}} = \sqrt{2 ^{2} + 4 ^{2}} = 2 \sqrt{5}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} : \overline{\mathrm{PB}} = \mathit{2} : 1$이다.)