확률과 통계순열과 조합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

이웃 곱이 12가 아닌 원순열

문제

11부터 66까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 66개의 의자가 있다. 이 66개의 의자를 일정한 간격을 두고 원형으로 배열할 때, 서로 이웃한 22개의 의자에 적혀 있는 수의 곱이 1212가 되지 않도록 배열하는 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [4점]

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48

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해설

[출제의도] 원순열의 수를 이용하여 조건을 만족시키는 경우의 수를 구할 수 있는가? 66개의 의자를 원형으로 배열하는 경우의 수는 (6−1)!=5!=120\left( 6 - 1 \right) ! = 5 ! = 120 이때 서로 이웃한 22개의 의자에 적혀 있는 수의 곱이 1212가 되는 경우가 있도록 배열하는 경우는 다음과 같이 생각할 수 있다. (ⅰ) 2,62 , 6이 각각 적힌 두 의자가 이웃하게 배열되는 경우 2,62 , 6이 각각 적힌 두 의자를 11개로 생각하여 의자 55개를 원형으로 배열하는 경우의 수는 (5−1)!=4!=24\left( 5 - 1 \right) ! = 4 ! = 24 이 각각에 대하여 2,62 , 6이 각각 적힌 두 의자의 자리를 서로 바꾸는 경우의 수는 2!=22 ! = 2 그러므로 이 경우의 수는 24×2=4824 \times 2 = 48 (ⅱ) 3,43 , 4가 각각 적힌 두 의자가 이웃하게 배열되는 경우 3,43 , 4가 각각 적힌 두 의자를 11개로 생각하여 의자 55개를 원형으로 배열하는 경우의 수는 (5−1)!=4!=24\left( 5 - 1 \right) ! = 4 ! = 24 이 각각에 대하여 3,43 , 4가 각각 적힌 두 의자의 자리를 서로 바꾸는 경우의 수는 2!=22 ! = 2 그러므로 이 경우의 수는 24×2=4824 \times 2 = 48 (ⅲ) 2,62 , 6이 각각 적힌 두 의자와 3,43 , 4가 각각 적힌 두 의자가 모두 이웃하게 배열되는 경우 2,62 , 6이 각각 적힌 두 의자를 11개로 생각하고, 3,43 , 4가 각각 적힌 두 의자를 11개로 생각하여 의자 44개를 원형으로 배열하는 경우의 수는 (4−1)!=3!=6\left( 4 - 1 \right) ! = 3 ! = 6 이 각각에 대하여 2,62 , 6이 각각 적힌 두 의자의 자리를 서로 바꾸고, 3,43 , 4가 각각 적힌 두 의자의 자리를 서로 바꾸는 경우의 수는 2!×2!=42 ! \times 2 ! = 4 그러므로 이 경우의 수는 6×4=246 \times 4 = 24 (ⅰ)~(ⅲ)에 의하여 서로 이웃한 22개의 의자에 적혀 있는 수의 곱이 1212가 되는 경우가 있도록 배열하는 경우의 수는 48+48−24=7248 + 48 - 24 = 72 따라서 구하는 경우의 수는 120−72=48120 - 72 = 48

태그

#원순열#여사건

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