확률과 통계확률의 뜻과 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

일대일함수 확률

문제

두 집합 $X = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 \right\}$ , $Y = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 \right\}$ 에 대하여 $X$ 에서 $Y$ 로의 모든 일대일함수 $f$ 중에서 임의로 하나를 선택할 때, 이 함수가 다음 조건을 만족시킬 확률은? [3점]

(가) $f ( 2 ) = 2$ (나) $f ( 1 ) \times f ( 2 ) \times f ( 3 ) \times f ( 4 )$ 는 $\mathrm{4}$ 의 배수이다.

① $\displaystyle \frac{1}{14}$ ② $\displaystyle \frac{3}{35}$ ③ $\displaystyle \frac{1}{10}$ ④ $\displaystyle \frac{4}{35}$ ⑤ $\displaystyle \frac{9}{70}$

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④

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해설

일대일함수 $f$ 의 개수는 $7$ 개의 수 중에서 $4$ 개를 나열하는 방법의 개수이므로 $\mathit{_{7}} \mathrm{P} \mathit{_{4}} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$ 조건 (가)를 만족시키는 일대일함수의 개수는 $2$ 를 제외한 $6$ 개의 수 중에서 $3$ 개를 나열하는 방법의 개수이므로 $\mathit{_{6}} \mathrm{P} \mathit{_{3}} = 6 \times 5 \times 4 = 120$ 조건 (나)에서 조건을 만족시키는 사건의 여사건의 개수는 $f ( 1 )$ , $f ( 3 )$ , $f ( 4 )$ 의 값이 모두 홀수인 사건이므로 $1$ , $3$ , $5$ , $7$ 의 $4$ 개의 수 중에서 $3$ 개를 나열하는 방법의 수는 $\mathit{_{4}} \mathrm{P} \mathit{_{3}} = 4 \times 3 \times 2 = 24$ 따라서 조건 (가)와 (나)를 모두 만족시키는 일대일 함수의 개수는 $\mathit{_{6}} \mathrm{P} \mathit{_{3}} - \mathit{_{4}} \mathrm{P} \mathit{_{3}} = 120 - 24 = 96$ 따라서 구하고자 하는 확률은 $\displaystyle \frac{96}{840} = \frac{4}{35}$

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