일차함수로 이차함수 그래프

[출제의도] 주어진 조건을 이용하여 이차함수의 그래프의 모양을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다. 일차함수 $y = ax + b$의 그래프에서 기울기는 음수이고 $y$절편은 양수이므로 $a < 0$, $b > 0$이다. ∴$ab < 0$ $\cdots$ ㉠ 그래프에서 $x = 1$일 때의 $y$의 값이 양수이므로 $a + b > 0$ $\cdots$ ㉡ 한편 이차함수 $y = x ^{2} - ( a + b ) x + ab$의 그래프에서 축의 식은 $\displaystyle x = \frac{a + b}{2}$이고, $y$절편은 $ab$이다. 따라서 ㉠, ㉡ 에 의해 그래프의 모양은 다음과 같다.

[다른풀이] $y = ax + b$의 그래프에서 기울기는 음수이고 $y$절편은 양수이므로 $a < 0 , b > 0$ 또, $f ( x ) = ax + b$라 할 때, $f ( 1 ) = a + b > 0$이므로 ($a$의 절대값)$<$($b$의 절대값)이다. $y = x ^{2} - ( a + b ) x + ab$ $= ( x - a ) ( x - b )$이므로 $y = x ^{2} - ( a + b ) x + ab$의 그래프는 아래로 볼록하고 $x$축 위의 두 점 $( a , 0 ) , ( b , 0 )$을 지나는 포물선이다. 이 때 $a < 0 , b > 0$이고 ($a$의 절대값)$<$($b$의 절대값)이므로 그래프의 모양은 ① 과 같다.