공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

이중근호를 포함한 무리식의 최댓값

문제

3+23x−x2−3−23x−x2\displaystyle \sqrt{{3} + 2 \sqrt{3 x - x ^{2}}} - \sqrt{{3} - 2 \sqrt{3 x - x ^{2}}}의 최댓값은? ①2\displaystyle \sqrt{2}②3\displaystyle \sqrt{3}③3+2\displaystyle \sqrt{3} + \sqrt{2}④3−2\displaystyle \sqrt{3} - \sqrt{2}⑤6\displaystyle \sqrt{6}

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⑤

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해설

준 식=3+23x−x2−3−23x−x2\displaystyle = \sqrt{{3} + 2 \sqrt{3 x - x ^{2}}} - \sqrt{{3} - 2 \sqrt{3 x - x ^{2}}} =(3−x+x)2−(3−x−x)2\displaystyle = \sqrt{( \sqrt{3 - x} + \sqrt{x} ) ^{2}} - \sqrt{( \sqrt{3 - x} - \sqrt{x} ) ^{2}} i)0≤x≤32\displaystyle i ) 0 \leq x \leq \frac{3}{2}인 경우 준 식=3−x+x−(3−x−x)=2x\displaystyle = \sqrt{3 - x} + \sqrt{x} - ( \sqrt{3 - x} - \sqrt{x} ) = 2 \sqrt{x} ii)32<x≤3\displaystyle ii ) \frac{3}{2} < x \leq 3인 경우 준 식=3−x+x−(x−3−x)=23−x\displaystyle = \sqrt{3 - x} + \sqrt{x} - ( \sqrt{x} - \sqrt{3 - x} ) = 2 \sqrt{3 - x} 따라서, 준 식은 x=32\displaystyle x = \frac{3}{2}에서 최댓값 6\displaystyle \sqrt{6}을 가진다.

태그

#이중근호#무리식#구간분리

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