미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출아주 기초 (2점~3점 초반)

이중근호 수열 극한

문제

자연수 nn에 대하여 an=4n+1−24n2+2n,bn=2n+1−2n2+n\displaystyle a _{n} = \sqrt{4 n + 1 - 2 \sqrt{4 n ^{2} + 2 n}} , b _{n} = \sqrt{2 n + 1 - 2 \sqrt{n ^{2} + n}} 이라 할 때, lim⁡n→∞anbn\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{a _{n}}{b _{n}}의 값은? [2점] ①−22\displaystyle - \frac{\sqrt{2}}{2}②−24\displaystyle - \frac{\sqrt{2}}{4}③11④24\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}⑤22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}

정답 보기
⑤

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

ana _{n}=(2n+1)+2n−22n(2n+1)\displaystyle = \sqrt{( 2 n + 1 ) + 2 n - 2 \sqrt{2 n ( 2 n + 1 )}} =(2n+1−2n)2\displaystyle = \sqrt{( \sqrt{2 n + 1} - \sqrt{2 n} ) ^{2}} =2n+1−2n\displaystyle = \sqrt{2 n + 1} - \sqrt{2 n} bnb _{n}=(n+1)+n−2n(n+1)\displaystyle = \sqrt{( n + 1 ) + n - 2 \sqrt{n ( n + 1 )}} =(n+1−n)2\displaystyle = \sqrt{\left( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \right) ^{2}} =n+1−n\displaystyle = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} lim⁡n→∞anbn\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{a _{n}}{b _{n}}=lim⁡n→∞2n+1−2nn+1−n\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{\sqrt{2 n + 1} - \sqrt{2 n}}{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}} =lim⁡n→∞n+1+n2n+1+2n\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}{\sqrt{2 n + 1} + \sqrt{2 n}} =lim⁡n→∞1+1n+12+1n+2\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}{\sqrt{2 + \frac{1}{n}} + \sqrt{2}} =222\displaystyle = \frac{2}{2 \sqrt{2}}=22\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2}

태그

#수열의 극한#이중근호

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 수열의 극한 문제 모음수능 문제 모음아주 기초 문제 모음
← 전체 문제 목록으로