공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

이중근호 가우스

문제

a=4+12\displaystyle a = \sqrt{4 + \sqrt{12}}일 때, aa−[a]+a−[a]a\displaystyle \frac{a}{a - \left[ a \right]} + \frac{a - \left[ a \right]}{a}의 값은? (단, [a]\left[ a \right]는 aa보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점] ①32\displaystyle \frac{3}{2}②3\displaystyle \sqrt{3}③22④23\displaystyle 2 \sqrt{3}⑤44

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⑤

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해설

[출제의도] 이중근호를 변형하여 식의 값 구하기 a=4+12=4+23=3+1\displaystyle a = \sqrt{4 + \sqrt{12}} = \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} = \sqrt{3} + 1 1<3<2\displaystyle 1 < \sqrt{3} < 2이므로 2<3+1<3\displaystyle 2 < \sqrt{3} + 1 < 3 따라서 [a]=2[ a ] = 2 aa−[a]+a−[a]a=3+13+1−2+3+1−23+1\displaystyle \frac{a}{a - \left[ a \right]} + \frac{a - \left[ a \right]}{a} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1 - 2} + \frac{\sqrt{3} + 1 - 2}{\sqrt{3} + 1} =3+13−1+3−13+1\displaystyle = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} + \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} =(3+1)2+(3−1)2(3−1)(3+1)\displaystyle = \frac{( \sqrt{3} + 1 ) ^{2} + ( \sqrt{3} - 1 ) ^{2}}{( \sqrt{3} - 1 ) ( \sqrt{3} + 1 )} =4= 4

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