공통수학2집합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

이진법 자리수 집합

문제

모든 자연수를 이진법의 수로 고칠 때, 집합 $A _{n}$ ( $n$ 은 자연수)를 다음과 같이 정의하자.

이진법의 수의 1의 자리수가 1인 수의 집합을 $A _{1}$ , 이진법의 수의 $2 ^{1}$ 의 자리수가 1인 수의 집합을 $A _{2}$ , 이진법의 수의 $2 ^{2}$ 의 자리수가 1인 수의 집합을 $A _{3}$ , … 이진법의 수의 $2 ^{n-1}$ 의 자리수가 1인 수의 집합을 $A _{n}$

예를 들어 $A _{1} = \left\{ 1 , 3 , 5 , 7 , \cdots \right\}$ , $A _{3} = \left\{ 4 , 5 , 6 , 7 , \cdots \right\}$ 이다. 이 때, $A _{1} \cap A _{3} \cap A _{4}$ 의 원소 중 가장 작은 수를 구하시오. [4점]

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해설

[출제 의도] 이진법의 수의 집합을 통해서 수의 전개를 추론할 수 있다. 집합 $A _{n}$ 의 원소를 $10$ 진법의 수로 고쳐 나타낼 때 $A _{1} = \left\{ 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , \cdots \right\}$ $A _{2} = \left\{ 2 , 3 , 6 , 7 , 10 , 11 , 14 , 15 , \cdots \right\}$ $A _{3} = \left\{ 4 , 5 , 6 , 7 , 12 , 13 , 14 , 15 , \cdots \right\}$ $A _{4} = \left\{ 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , \cdots \right\}$ 따라서 $A _{1} \cap A _{3} \cap A _{4}$ $= \left\{ 13 , 15 , \cdots \right\}$ 가 되어 가장 작은 원소는 $13$ 이다.

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