미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

이진 자리수 합 극한

문제

다음과 같이 두 수 00과 11만을 사용하여 제nn행에 nn자리의 자연수를 크기순으로 모두 나열해 나간다. (n=1,2,3,⋯ )( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )

제11행 11
제22행 10,1110 , 11
제33행 100,101,110,111100 , 101 , 110 , 111
제44행 1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110,11111000 , 1001 , 1010 , 1011 , 1100 , 1101 , 1110 , 1111
⋯\cdots

제nn행에 나열한 모든 수의 합을 ana _{n}이라 하자. 예를 들어, a2=21,a _{2} = 21 , a3=422a _{3} = 422이다. lim⁡n→∞an20n=qp\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{a _{n}}{20 ^{n}} = \frac{q}{p}일 때, p+qp + q의 값을 구하여라. (단, p,qp , q는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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379

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해설

a1=1a _{1} = 1 a2=2×10+1a _{2} = 2 \times 10 + 1 a3=4×102+2×(10+1)a _{3} = 4 \times 10 ^{2} + 2 \times ( 10 + 1 ) a4=8×103+4×(102+10+1)a _{4} = 8 \times 10 ^{3} + 4 \times ( 10 ^{2} + 10 + 1 ) ⋮ ∴ ana _{n}=2n−1×10n−1+2n−2×(10n−2+10n−3+⋯+10+1)= 2 ^{n-1} \times 10 ^{n-1} + 2 ^{n-2} \times \left( 10 ^{n-2} + 10 ^{n-3} + \cdots + 10 + 1 \right) =(20)n−1+2n−2×10n−1−110−1\displaystyle = ( 20 ) ^{n-1} + 2 ^{n-2} \times \frac{10 ^{n-1} - 1}{10 - 1} =1918(20)n−1−19⋅2n−2\displaystyle = \frac{19}{18} ( 20 ) ^{n-1} - \frac{1}{9} \cdot 2 ^{n-2} ∴ lim⁡n→∞an20n\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{a _{n}}{20 ^{n}}=lim⁡x→∞{19360−136(110)n}\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow \infty} \left\{ \frac{19}{360} - \frac{1}{36} \left( \frac{1}{10} \right) ^{n} \right\}=19360\displaystyle = \frac{19}{360} ∴ p=360p = 360, q=19q = 19, p+q=379p + q = 379

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