이항정리와 상용로그

[출제의도] 이항정리를 이용하여 로그부등식의 해를 구한다. $\displaystyle f ( n ) = _{n} {\mathrm{C}} _{0} + _{n} {\mathrm{C}} _{1} \left( \frac{1}{9} \right) ^{1} + _{n} {\mathrm{C}} _{2} \left( \frac{1}{9} \right) ^{2} + \cdots + _{n} {\mathrm{C}} _{n} \left( \frac{1}{9} \right) ^{n}$ $\displaystyle = \left( 1 + \frac{1}{9} \right) ^{n} = \left( \frac{10}{9} \right) ^{n}$ $\displaystyle \log f ( n ) = \log \left( \frac{10}{9} \right) ^{n}$ $= n ( \log 10 - \log 9 )$ $= n ( 1 - 2 \log 3 )$ $= n ( 1 - 2 \times 0.4771 )$ $= n ( 1 - 0.9542 )$ $= 0.0458 n$$> 1$ $\displaystyle n > \frac{1}{0.0458} = 21.8 \cdots$ 따라서 구하는 자연수 $n$의 최솟값은 $22$이다.