확률과 통계이항정리수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

이항전개 상수항

문제

pp가 소수일 때, (x+px)n\displaystyle \left( x + \frac{p}{x} \right) ^{n}의 xx에 대한 전개식에서 상수항이 160160이다. 두 수 nn, pp의 곱 npnp의 값을 구하시오. (단, nn은 자연수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 이항정리를 이용하여 전개식의 계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. nCr(x)n(px)n−r=nCrpn−rx2r−n\displaystyle {}_{n} {\mathrm{C}} _{r} ( x ) ^{n} \left( \frac{p}{x} \right) ^{n-r} = _{n} {\mathrm{C}} _{r} p ^{n-r} x ^{2r-n}에서 n=2rn = 2 r nCn2pn2=160=25⋅5\displaystyle {}_{n} {\mathrm{C}} _{\frac{n}{2}} p ^{\frac{n}{2}} = 160 = 2 ^{5} \cdot 5 nn은 짝수이므로 nn 대신에 22, 44를 대입하여 계산하면 성립하지 않고, n=6n = 6일 때, 6C3p3=5⋅22p3=25⋅5{}_{6} {\mathrm{C}} _{3} p ^{3} = 5 \cdot 2 ^{2} p ^{3} = 2 ^{5} \cdot 5이므로 p=3p = 3이다. ∴np=6⋅2=12\therefore np = 6 \cdot 2 = 12

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#이항정리#상수항

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