확률과 통계이항정리수능 기출기본 문제 (3점 중반)

이항전개 계수

문제

(x−1)n( x - 1 ) ^{n}의 전개식에서 x2x ^{2}의 계수가 −55- 55일 때, x3x ^{3}의 계수를 구하시오. (단, nn은 자연수이다.) [3점]

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해설

[출제의도] 이항정리를 이해하고 이를 이용하여 계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. (x−1)n( x - 1 ) ^{n}=∑r=0nnCr(−1)n−rxr\displaystyle = \sum\limits _{r = 0} ^{n} {}_{n} \mathrm{C} _{\mathit{r}} \mathit{(} - 1 ) ^{n-r} x ^{r} 이므로 x2x ^{2}의 계수는 nC2(−1)n−2{}_{n} \mathrm{C} _{2} \mathit{(} - 1 ) ^{n-2}이다. ∴ nC2(−1)n−2=−55{}_{n} \mathrm{C} _{2} \mathit{(} - 1 ) ^{n-2} = - 55 n(n−1)2×(−1)n−2=−55\displaystyle \frac{n ( n - 1 )}{2} \times ( - 1 ) ^{n - 2} = - 55 에서 n=11n = 11이므로 x3x ^{3}의 계수는 11C3(−1)11−3=11×10×93×2×1=165\displaystyle {}_{11} \mathrm{C} _{3} \mathit{(} - 1 ) ^{11-3} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165

태그

#이항정리#계수

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