확률과 통계이항정리수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

이항계수와 부분분수합

문제

(x−y+1)n+2( x - y + 1 ) ^{n + 2}의 전개식에서 xny2x ^{n} y ^{2}의 계수를 f(n)f ( n )이라 할 때, 1f(1)+1f(2)+1f(3)+⋯+1f(2020)=ab\displaystyle \frac{1}{f ( 1 )} + \frac{1}{f ( 2 )} + \frac{1}{f ( 3 )} + \cdots + \frac{1}{f ( 2020 )} = \frac{a}{b} 이다. a+ba + b의 값은? (단, a,ba , b는 서로소인 자연수이다.) [4점] ①2019②2020③2021④2022⑤2023

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③

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해설

f(n)=(n+2)!n!2!=(n+2)(n+1)2\displaystyle f ( n ) = \frac{( n + 2 ) !}{n ! 2 !} = \frac{( n + 2 ) ( n + 1 )}{2} 1f(n)=2(1n+1−1n+2)\displaystyle \frac{1}{f ( n )} = 2 \left( \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} \right) 1f(1)+1f(2)+⋯+1f(2020)=2(12−12022)=10101011\displaystyle \frac{1}{f ( 1 )} + \frac{1}{f ( 2 )} + \cdots + \frac{1}{f ( 2020 )} = 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2022} \right) = \frac{1010}{1011} ∴a+b=2021\therefore a + b = 2021

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#이항정리#부분분수

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