확률과 통계이항정리수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

이항계수의 합

문제

자연수 nn에 대하여 f(n)f \left( n \right)=∑k=1n2n+1C2k\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \mathrm{_{2 n + 1}} \mathrm{C} _{\mathit{\mathit{2}} k}일 때, f(n)f \left( n \right)=1023= 1023을 만족시키는 nn의 값은? [3점] ①33②44③55④66⑤77

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③

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해설

[출제의도] 이항계수의 성질을 이용하여 추론하기 2n+1C0+2n+1C2+2n+1C4+⋯+2n+1C2n=22n{} _{2 n + 1} \mathrm{C} _{0} + _{\mathit{2} n + 1} \mathrm{C} _{2} + _{\mathit{2} n + 1} \mathrm{C} _{4} + \cdots + _{\mathit{2} n + 1} \mathrm{C} _{\mathit{2} n} = \mathit{2} ^{2 n}이므로 f(n)=∑k=1n2n+1C2k=22n−1\displaystyle f ( n ) = \sum\limits _{k = 1} ^{n} {}_{2 n + 1} \mathrm{C} _{\mathit{2} k} = \mathit{2} ^{2 n} - 1 22n−1=10232 ^{2 n} - 1 = 1023에서 22n=2102 ^{2 n} = 2 ^{10} 따라서 n=5n = 5

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#이항계수#파스칼 삼각형

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