확률과 통계이항정리수능 기출기본 문제 (3점 중반)

이항계수 크기 비교

문제

다항식 (x+2)19( x + 2 ) ^{19}의 전개식에서 xkx ^{k}의 계수가 xk+1x ^{k+1}의 계수보다 크게 되는 자연수 kk의 최솟값은? [3점]

①44②55③66④77⑤88

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③

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해설

이항정리의 일반항에서 19Crxr219−r{}_{19} {\mathrm{C}} _{r} x ^{r} 2 ^{19 - r} xkx ^{k}의 계수는 19Ck219−k{}_{19} {\mathrm{C}} _{k} 2 ^{19 - k} xk+1x ^{k + 1}의 계수는 19Ck+1218−k{}_{19} {\mathrm{C}} _{k + 1} 2 ^{18 - k} 이므로 19Ck219−k>19Ck+1218−k{}_{19} {\mathrm{C}} _{k} 2 ^{19 - k} > _{19} {\mathrm{C}} _{k + 1} 2 ^{18 - k} 219−k>1k+1\displaystyle \frac{2}{19 - k} > \frac{1}{k + 1} ∴k>173\displaystyle \therefore k > \frac{17}{3} kk의 최솟값은 66

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#이항정리#계수 비교

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