확률과 통계이항정리수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

이항계수 제곱의 합

문제

다음을 이용하여 (12C0)2+(12C1)2+(12C2)2+⋯+(12C12)2( _{12} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{0}}} ) ^{2} + ( _{12} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{1}}} ) ^{2} + ( _{12} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} ) ^{2} + \cdots + ( _{12} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{12}}} ) ^{2}을 간단히 하면? [4점]

Ⅰ. (1+x)24( 1 + x ) ^{24}=(1+x)12(1+x)12= ( 1 + x ) ^{12} ( 1 + x ) ^{12} Ⅱ. nCr=nCn−r{}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{r}}} \mathit{=} _{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{n - r}}} (nn은 자연수, rr는 정수, 0≤r≤n0 \leq r \leq n)

①2122 ^{12}②24P12{}_{24} \mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{12}}}③24C12{}_{24} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{12}}}④(24P12)2( _{24} \mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{12}}} \mathit{)} ^{2}⑤(24C12)2( _{24} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{12}}} \mathit{)} ^{2}

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③

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해설

(1+x)n( 1 + x ) ^{n}의 전개식에서 xrx ^{r}의 계수는 nCr{}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{r}}}이므로 (1+x)n(1+x)n( 1 + x ) ^{n} ( 1 + x ) ^{n}에서 xnx ^{n}의 계수는 nC0nCn+nC1nCn−1+nC2nCn−2+⋯+nCnnC0{}_{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{0}}} _{\mathit{n}} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n}}}} + _{\mathit{n}} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{\mathit{1}}}} _{\mathit{n}} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{n - 1}}} + _{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} _{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{n - 2}}} + \cdots + _{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{n}}} _{n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{0}}} =nC0nC0+nC1nC1+nC2nC2+⋯+nCnnCn= _{n} \mathrm{C} \mathit{_{0}} _{\mathit{n}} \mathrm{C} \mathit{_{0}} + _{\mathit{n}} \mathrm{C} \mathit{_{1}} _{\mathit{n}} \mathrm{C} \mathit{_{\mathit{1}}} + _{\mathit{n}} \mathrm{C} \mathit{_{2}} _{\mathit{n}} \mathrm{C} \mathit{_{2}} + \cdots + _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}} {}_{\mathit{n}} \mathrm{C} \mathit{_{\mathit{n}}} =(nC0)2+(nC1)2+(nC2)2+⋯+(nCn)2= ( _{n} \mathrm{C} \mathit{_{0}} ) ^{2} + ( _{\mathit{n}} \mathrm{C} \mathit{_{\mathit{1}}} ) ^{2} + ( _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{2}} ) ^{\mathit{2}} + \cdots + ( _{\mathit{n}} \mathrm{C} \mathit{_{\mathit{n}}} ) ^{2} (1+x)2n( 1 + x ) ^{2 n}의 전개식에서 xnx ^{n}의 계수는 2nCn{}_{2 n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{n}}} ∴ (nC0)2+(nC1)2+(nC2)2+⋯+(nCn)2=2nCn( _{n} \mathrm{C} \mathit{_{0}} ) ^{2} + ( _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{1}} ) ^{\mathit{2}} + ( _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{2}} ) ^{\mathit{2}} + \cdots + ( _{\mathit{n}} \mathrm{C} \mathit{_{\mathit{n}}} ) ^{\mathit{2}} = _{\mathit{2} n} \mathrm{C} \mathit{_{\mathit{n}}} ∴ (12C0)2+(12C1)2+(12C2)2+⋯+(12Cn)2=24C12( _{12} \mathrm{C} \mathit{_{\mathit{0}}} ) ^{\mathit{2}} + ( _{\mathit{12}} \mathrm{C} \mathit{_{\mathit{1}}} ) ^{\mathit{2}} + ( _{\mathit{12}} \mathrm{C} _{\mathit{2}} ) ^{\mathit{2}} + \cdots + ( _{\mathit{12}} \mathrm{C} _{\mathit{n}} ) ^{\mathit{2}} = _{\mathit{24}} \mathrm{C} _{\mathit{12}}

태그

#이항계수#전개식 계수 비교

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