확률과 통계이항정리수능 기출기본 문제 (3점 중반)

이항계수 등비수열

문제

$( x + a ) ^{10}$ 의 전개식에서 세 항 $x$ , $x ^{2}$ , $x ^{4}$ 의 계수가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, 상수 $a$ 의 값은? (단, $a \ne 0$ ) [3점] ① $\displaystyle \frac{28}{27}$ ② $\displaystyle \frac{27}{26}$ ③ $\displaystyle \frac{26}{25}$ ④ $\displaystyle \frac{25}{24}$ ⑤ $\displaystyle \frac{24}{23}$

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①

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해설

$( x + a ) ^{10}$ 의 전개식에서 $x$ , $x ^{2}$ , $x ^{4}$ 의 계수는 ${}_{10} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} a ^{9}$ , ${}_{10} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}} a ^{8}$ , ${}_{10} {\mathrm{C}} \mathit{_{4}} a ^{6}$ 즉, $10 a ^{9}$ , $45 a ^{8}$ , $210 a ^{6}$ 이 순서로 등비수열을 이루므로 $( 45 a ^{8} ) ^{2} = 10 a ^{9} \cdot 210 a ^{6}$ ∴ $\displaystyle a = \frac{28}{27}$

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