이항계수 배수 증명

다음은 $n$이 소수일 때, ${}_{2n} {\mathrm{C}} _{n} - 2$는 $n ^{2}$의 배수임을 증명한 것이다.

<증명> $\displaystyle ( 1 + x ) ^{2 n} = \sum\limits _{k = 0} ^{2 n} {}_{2 n} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{k}}} x ^{k}$ 에서 (가) 의 계수는 ${}_{2n} {\mathrm{C}} _{n}$이다. 한편 $\displaystyle ( 1 + x ) ^{n} ( 1 + x ) ^{n} = \left( \sum\limits _{k = 0} ^{n} {}_{n{\mathrm{C}}_{k}} x ^{k} \right) \left( \sum\limits _{k = 0} ^{n} {}_{n} {\mathrm{C}} _{n-k} x ^{n - k} \right)$ 에서 (가) 의 계수는 $\displaystyle \sum\limits _{k = 0} ^{n} \left( {}_{n} {\mathrm{C}} _{k} \cdot \right.$ (나) $)$이다. 따라서 ${}_{2n} {\mathrm{C}} _{n}$$= \left( {}_{n{\mathrm{C}}_{0}} \right) ^{2} + \left( {}_{n{\mathrm{C}}_{1}} \right) ^{2} + \left( {}_{n{\mathrm{C}}_{2}} \right) ^{2} + \cdots + \left( {}_{n{\mathrm{C}}_{n}} \right) ^{2}$이다. 그런데 $n$이 소수이므로 (다) 인 자연수 $k$에 대하여 ${}_{n{\mathrm{C}}} {}_{k}$는 $n$의 배수이다. 따라서 (다) 인 자연수 $k$에 대하여 $\left( {}_{n{\mathrm{C}}} {}_{k} \right) ^{2}$은 $n ^{2}$의 배수이고 ${}_{n{\mathrm{C}}} {}_{0} = _{n{\mathrm{C}}} {}_{n} = 1$이므로 ${}_{2n} {\mathrm{C}} _{n} - 2$는 $n ^{2}$의 배수이다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) (다) ①$x ^{n}$ ${}_{n{\mathrm{C}}} {}_{n-k}$ $1 \leq k \leq n$②$x ^{n}$ ${}_{n{\mathrm{C}}} {}_{n-k}$ $1 \leq k \leq n - 1$③$x ^{n}$ ${}_{2n{\mathrm{C}}} {}_{n-k}$ $1 \leq k \leq n$④$x ^{2 n}$ ${}_{n{\mathrm{C}}} {}_{n-k}$ $1 \leq k \leq n - 1$⑤$x ^{2 n}$ ${}_{2n{\mathrm{C}}} {}_{n-k}$ $1 \leq k \leq n$