이등변삼각형의 내심과 외심

[출제의도] 삼각형의 내심과 외심의 성질을 이용하여 각의 크기를 구한다.

$\angle \mathrm{OAB} = \mathit{x} ^\circ$라 하자. 외심의 성질에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} = \overline{\mathrm{OB}}$이고 삼각형 $\mathrm{OAB}$는 이등변삼각형이므로 $\angle \mathrm{OBA} = \mathit{x} ^\circ$ $\angle \mathrm{OBA}$$= \angle \mathrm{IBO} + \angle \mathrm{ABI}$$= 33 ^\circ + \angle \mathrm{ABI}$ $\angle \mathrm{ABI} = \mathit{x} ^\circ - 33 ^\circ$ 점 $\mathrm{I}$는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 내심이므로 $\angle \mathrm{ABI} = \angle IBC$, $\angle \mathrm{BAI} = \angle IAC$ $\angle \mathrm{IBC} = \mathit{x} ^\circ - 33 ^\circ$, $\angle \mathrm{IAC} = \mathit{x} ^\circ$ 따라서 $\angle \mathrm{ABC}$$= \angle \mathrm{ABI} + \angle \mathrm{IBC}$$= \left( x ^\circ - 33 ^\circ \right) + \left( x ^\circ - 33 ^\circ \right)$$= 2 x ^\circ - 66 ^\circ$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AC}}$인 이등변삼각형이므로 $\angle \mathrm{ABC}$$= \mathrm{\angle} ACB$$= 2 x ^\circ - 66 ^\circ$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 내각의 합은 $180 ^\circ$이므로 $\angle \mathrm{ABC} + \angle ACB + \angle BAC = 180 ^\circ$ $\left( 2 x ^\circ - 66 ^\circ \right) + \left( 2 x ^\circ - 66 ^\circ \right) + 2 x ^\circ$$= 180 ^\circ$ $6 x ^\circ - 132 ^\circ = 180 ^\circ$, $x ^\circ = 52 ^\circ$ 따라서 $\angle \mathrm{A} = 2 \mathit{x} ^\circ = 104 ^\circ$ [다른 풀이] 점 $\mathrm{I}$는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 내심이므로 직선 $\mathrm{AI}$는 $\mathrm{\angle} BAC$를 이등분한다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{AC}$인 이등변삼각형이므로 직선 $\mathrm{AI}$는 밑변 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}}$를 수직이등분한다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외심 $\mathrm{O}$는 변 $\mathrm{BC}$의 수직이등분선 위에 있으므로 점 $\mathrm{O}$는 직선 $\mathrm{AI}$ 위에 있다.

$\angle \mathrm{ABI} = \mathit{x} ^\circ$라면 $\angle \mathrm{ABO} = \mathit{x} ^\circ + 33 ^\circ$ 점 $\mathrm{O}$는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외심이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BO}} = \overline{AO}$ 따라서 삼각형 $\mathrm{ABO}$는 이등변삼각형이다. $\mathrm{\angle} BAO$$\mathrm{=} \angle ABO$$= \mathit{x} ^\circ + 33 ^\circ$ $\angle \mathrm{BIH}$는 삼각형 $\mathrm{ABI}$의 한 외각이므로 $\angle \mathrm{BIH}$$= \mathit{x} ^\circ + ( x ^\circ + 33 ^\circ )$$= 2 x ^\circ + 33 ^\circ$ 한편 점 $\mathrm{I}$는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 내심이므로 $\mathrm{\angle} IBH = \angle ABI = \mathit{x} ^\circ$ 따라서 직각삼각형 $\mathrm{IBH}$에서 $x ^\circ + ( 2 x ^\circ + 33 ^\circ ) + 90 ^\circ = 180 ^\circ$ $3 x ^\circ + 123 ^\circ = 180 ^\circ$ $3 x ^\circ = 57 ^\circ$, $x ^\circ = 19 ^\circ$ 한편 $\angle \mathrm{BAH}$$= \mathit{x} ^\circ + 33 ^\circ$$= 19 ^\circ + 33 ^\circ$$= 52 ^\circ$ 이므로 $\angle \mathrm{A} = 2 \times 52 ^\circ = 104 ^\circ$ [다른 풀이]

삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원과 직선 $\mathrm{AO}$의 교점을 $\mathrm{D}$라 하고 $\mathrm{\angle} IBC$$= x ^\circ$라 하면 $\mathrm{\angle} OBC$$= 33 ^\circ - x ^\circ$ 점 $\mathrm{I}$가 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 내심이므로 $\mathrm{\angle} ABC$$= 2 x ^\circ$ 점 $\mathrm{O}$가 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외심이고 직선 $\mathrm{AD}$는 변 $\mathrm{BC}$의 수직이등분선이므로 $\mathrm{\angle} BAD$$= 90 ^\circ - 2 x ^\circ$ $\mathrm{\angle} BOD$는 삼각형 $\mathrm{ABO}$의 한 외각이므로 $\mathrm{\angle} BOD$$= 90 ^\circ - 2 x ^\circ + 33 ^\circ + x ^\circ$$= 123 ^\circ - x ^\circ$ $\mathrm{\angle} BAD$는 호 $\mathrm{BD}$에 대한 원주각, $\mathrm{\angle} BOD$는 호 $\mathrm{BD}$에 대한 중심각이므로 $\mathrm{\angle} BOD$$\mathrm{=} 2 \times \angle BAD$ 따라서 $123 ^\circ - x ^\circ$$= 2 \times \left( 90 ^\circ - 2 x \right. )$$= 180 ^\circ - 4 x ^\circ$ $3 x ^\circ$$= 57 ^\circ$, $x ^\circ$$= 19 ^\circ$ 따라서 $\mathrm{\angle} BAD$$= 90 ^\circ - 2 x ^\circ$$= 52 ^\circ$ 이므로 $\mathrm{\angle} A$$= 104 ^\circ$