이등변삼각형 기울기

[출제의도] 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 문제 해결하기 두 직선 $\displaystyle y = 2 x , y = - \frac{1}{2} x$가 서로 수직이므로 세 직선 $\displaystyle y = 2 x , y = - \frac{1}{2} x , y = mx + 5$로 둘러싸인 삼각형 $\mathrm{AOB}$는 직각이등변삼각형이다.

$y = mx + 5$ $\displaystyle y = - \frac{1}{2} x$ $y = 2 x$

직선 $y = mx + 5$는 각 $\mathrm{AOB}$를 이등분하는 직선 $l$과 수직이다. 두 직선 $\displaystyle y = 2 x , y = - \frac{1}{2} x$가 이루는 각을 이등분하는 직선의 방정식은 $\displaystyle \frac{\left| 2 x - y \right|}{\sqrt{5}} = \frac{\left| x + 2 y \right|}{\sqrt{5}}$에서 $\displaystyle y = \frac{1}{3} x , y = - 3 x$이다. $m > 0$이므로 직선 $l$의 방정식은 $y = - 3 x$이고 $\displaystyle m = \frac{1}{3}$ [다른풀이] 두 직선 $\displaystyle y = 2 x , y = - \frac{1}{2} x$가 서로 수직이므로 세 직선 $\displaystyle y = 2 x , y = - \frac{1}{2} x , y = mx + 5$로 둘러싸인 삼각형 $\mathrm{AOB}$는 직각이등변삼각형이다.

$\mathrm{B}'$ $y = mx + 5$ $\displaystyle y = - \frac{1}{2} x$ $y = 2 x$ $\mathrm{A}'$

두 점 $\mathrm{A} , B$를 $x$축에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{A}' , B'$이라 하면 삼각형 $\mathrm{AA}' O$와 삼각형 $\mathrm{OB}' B$는 서로 합동이다. $a > 0$에 대하여 점 $\mathrm{B} \mathit{(} a , 2 a )$, $\mathrm{A} \mathit{(} - 2 a , a )$이므로 $\displaystyle m = \frac{2 a - a}{a - ( - 2 a )} = \frac{1}{3}$