이차함수 그래프와 넓이비

두 삼각형 ${\mathrm{CEB}}$, ${\mathrm{CDB}}$의 밑변을 선분 ${\mathrm{BC}}$라 하면 선분 ${\mathrm{BC}}$와 직선 ${\mathrm{DE}}$가 서로 평행하므로 두 삼각형의 높이가 같다. 그러므로 $\triangle {\mathrm{CEB}} = \mathit{\triangle} {\mathrm{CDB}}$ 선분 ${\mathrm{AB}}$와 선분 ${\mathrm{CD}}$의 교점을 ${\mathrm{F}}$라 하자. 이차함수 $y = - ax ^{2} + 8 ax$의 그래프는 직선 ${\mathrm{CD}}$에 대하여 대칭이고, 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$의 $y$좌표가 같으므로 $\triangle {\mathrm{CAF}} = \mathit{\triangle} {\mathrm{CFB}}$ 따라서 $\triangle {\mathrm{CAB}} = \mathit{2} \times \triangle {\mathrm{CFB}}$ $\triangle {\mathrm{CAB}} \mathit{:} \triangle {\mathrm{CEB}} = \mathit{\triangle} {\mathrm{CAB}} \mathit{:} \triangle {\mathrm{CDB}} = \mathit{2} : 5$이므로 $\triangle {\mathrm{CFB}} \mathit{:} \triangle {\mathrm{CDB}} = \mathit{1} : 5$ 두 삼각형 ${\mathrm{CFB}}$, ${\mathrm{CDB}}$의 높이를 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FB}}}$라 하면 밑변의 길이의 비가 $1 : 5$이다. 즉, $\displaystyle {\overline{\mathrm{CF}}} : {\overline{\mathrm{CD}}} = 1 : 5$ $y = - ax ^{2} + 8 ax = - a \left( x - 4 \right) ^{2} + 16 a$ 이므로 이 이차함수의 그래프의 꼭짓점 ${\mathrm{C}}$의 좌표는 $\left( 4 , 16 a \right)$ $a > 0$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} = 16 a$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{CF}}} : {\overline{\mathrm{CD}}} = 1 : 5$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} = {\overline{\mathrm{CF}}} + {\overline{\mathrm{FD}}}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FD}}}$$\displaystyle = \frac{4}{5} \times {\overline{\mathrm{CD}}}$$\displaystyle = \frac{4}{5} \times 16 a$$\displaystyle = \frac{64}{5} a$ 점 ${\mathrm{F}}$와 점 ${\mathrm{A}}$의 $y$좌표가 같으므로 점 ${\mathrm{A}}$의 $y$좌표는 $\displaystyle \frac{64}{5} a$ 점 ${\mathrm{D}}$는 점 ${\mathrm{C}} \mathit{\left( 4 , 16 a \right)}$에서 $x$축에 내린 수선의 발이므로 점 ${\mathrm{D}}$의 좌표는 $\left( 4 , 0 \right)$ 삼각형 ${\mathrm{AOD}}$의 밑변 ${\mathrm{OD}}$의 길이는 $4$, 높이는 $\displaystyle \frac{64}{5} a$ $\displaystyle \triangle {\mathrm{AOD}} \frac{= \mathit{1}}{2} \times 4 \times \frac{64}{5} a = 12$이므로 $\displaystyle a = \frac{15}{32}$