이차함수 그래프 개형

[출제의도] 제곱근의 성질과 이차함수의 그래프를 이해하여 조건에 맞는 그래프를 찾는다. $\displaystyle \sqrt{k ^{2}} = {\begin{cases} k ( k > 0 ) \\ - k ( k < 0 ) \end{cases}}$이므로 $\displaystyle \sqrt{a ^{2}} = - a$에서 $a < 0$ $\displaystyle \sqrt{b ^{2}} = b$에서 $b > 0$ $y$$= ax ^{2} + bx$$\displaystyle = a \left( x ^{2} + \frac{b}{a} x \right)$$\displaystyle = a \left( x ^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}} \right) - \frac{b ^{2}}{4 a}$ $\displaystyle = a \left( x + \frac{b}{2 a} \right) ^{2} - \frac{b ^{2}}{4 a}$ 이므로 이차함수 $y = ax ^{2} + bx$의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 다음과 같다. $\displaystyle \left( - \frac{b}{2 a} , - \frac{b ^{2}}{4 a} \right)$ 이때 $a < 0$, $b > 0$이므로 이차함수 $y = ax ^{2} + bx$의 그래프는 위로 볼록하고 $\displaystyle - \frac{b}{2 a} > 0$, $\displaystyle - \frac{b ^{2}}{4 a} > 0$ 이다. 따라서 이차함수 $y = ax ^{2} + bx$의 그래프의 꼭짓점 $\displaystyle \left( - \frac{b}{2 a} , - \frac{b ^{2}}{4 a} \right)$은 제$1$사분면에 있다. 또한, 이차함수 $y = ax ^{2} + bx$의 그래프는 $x = 0$일 때 $y = 0$이므로 $y$절편은 $0$이 되어 원점을 지난다. 따라서 그래프는 다음 그림과 같다.

[다른 풀이] $y = ax ^{2} + bx$의 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표를 구하기 위해 $y = ax ^{2} + bx$에 $y = 0$을 대입하면 $ax ^{2} + bx$$= x ( ax + b ) = 0$ $x = 0$ 또는 $\displaystyle x = - \frac{b}{a}$ 따라서 이차함수 $y = ax ^{2} + bx$의 그래프는 $( 0 , 0 )$, $\displaystyle \left( - {\frac{b}{a} , 0 )} \right.$을 지난다. 이때 $a < 0$, $b > 0$이므로 $\displaystyle - \frac{b}{a} > 0$이다. 따라서 이차함수 $y = ax ^{2} + bx$의 그래프는 위로 볼록하고 원점과 $x$축의 양의 부분 위의 점을 지나므로 이차함수 $y = ax ^{2} + bx$의 그래프는 위의 그림과 같다. [다른 풀이] $y$$= ax ^{2} + bx$$\displaystyle = a \left( x + \frac{b}{2 a} \right) ^{2} - \frac{b ^{2}}{4 a}$ 에서 축의 방정식은 $\displaystyle x = - {\frac{b}{2 a}}$이고 $a < 0$, $b > 0$이므로 $\displaystyle - {\frac{b}{2 a}} > 0$이다. 따라서 축은 $y$축의 오른쪽에 있다. 또 $a < 0$이므로 이차함수 $y = ax ^{2} + bx$의 그래프는 위로 볼록하고 원점을 지난다. 따라서 이차함수 $y = ax ^{2} + bx$의 그래프는 위의 그림과 같다.