흰 공 검은 공 나누기

조건 (가)에 의하여 네 주머니 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$, ${\mathrm{C}}$, ${\mathrm{D}}$ 중 어느 하나의 주머니에는 흰 공을 $2$개 넣고 나머지 세 주머니에는 흰 공을 $1$개씩 넣는다. (ⅰ) 흰 공을 $2$개 넣는 주머니가 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$, ${\mathrm{C}}$ 중 하나인 경우 흰 공을 $2$개 넣는 주머니를 정하는 경우의 수는 $\mathit{_{3}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} = 3$ 세 주머니 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$, ${\mathrm{C}}$에 넣는 흰 공의 개수의 합이 $4$이므로 조건 (나)에 의하여 주머니 ${\mathrm{D}}$에 넣는 검은 공의 개수는 $4$이다. 세 주머니 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$, ${\mathrm{C}}$에 남은 $6$개의 검은 공을 넣는 경우의 수는 서로 다른 $3$개에서 $6$개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 $\mathit{_{3}} {\mathrm{H}} \mathit{_{6}} = \mathit{_{8}} {\mathrm{C}} \mathit{_{6}} = 28$ 그러므로 구하는 경우의 수는 $3 \times 28 = 84$ (ⅱ) 흰 공을 $2$개 넣는 주머니가 ${\mathrm{D}}$인 경우 세 주머니 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$, ${\mathrm{C}}$에 넣는 흰 공의 개수의 합이 $3$이므로 조건 (나)에 의하여 주머니 ${\mathrm{D}}$에 넣는 검은 공의 개수는 $3$이다. 세 주머니 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$, ${\mathrm{C}}$에 남은 $7$개의 검은 공을 넣는 경우의 수는 서로 다른 $3$개에서 $7$개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 $\mathit{_{3}} {\mathrm{H}} \mathit{_{7}} = \mathit{_{9}} {\mathrm{C}} \mathit{_{7}} = 36$ 그러므로 구하는 경우의 수는 $36$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 경우의 수는 $84 + 36 = 120$