홀수 자리 네 자리 수

[출제의도] 중복조합의 성질을 이해하여 경우의 수를 구한다. 네 자리 자연수의 각 자리의 수를 각각 $x , y , z , w$라 하면 $x + y + z + w = 14$ $x , y , z , w$가 모두 홀수이므로 $x = 2 a + 1$, $y = 2 b + 1$, $z = 2 c + 1$, $w = 2 d + 1$ (단, $a$, $b$, $c$, $d$는 $0$이상 $4$이하의 정수) $( 2 a + 1 ) + ( 2 b + 1 ) + ( 2 c + 1 ) + ( 2 d + 1 ) = 14$ $a + b + c + d = 5$ $a$, $b$, $c$, $d$ 중에서 중복을 허락하여 $5$개를 택한다. 이때 $a$, $b$, $c$, $d$는 $4$이하의 정수이므로 한 가지만 $5$번 택하는 $4$가지 경우는 제외한다. $\displaystyle \mathrm{_{4}} \mathrm{H} _{5} - 4 = _{4 + 5 - 1} C _{5} - 4 = _{8} C _{5} - 4 = \frac{8 !}{5 ! 3 !} - 4 = 52$