홀수 개씩 나열

[출제의도] 같은 것이 있는 순열의 수를 구한다. 선택한 $7$개의 문자 중 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$의 개수를 차례로 $a$, $b$, $c$라 하면 세 수 $a$, $b$, $c$는 모두 홀수이고 그 합이 $7$이어야 하므로 다음 경우가 나온다. (ⅰ) $( a , b , c ) =$$( 1 , 1 , 5 )$인 경우 $7$개의 문자 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{C}$를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $7$개 중 같은 것이 각각 $1$개, $1$개, $5$개 있는 순열의 수와 같으므로 $\displaystyle \frac{7 !}{5 !}$$= 7 \times 6$$= 42$ $( a , b , c ) =$$( 1 , 5 , 1 )$, $( 5 , 1 , 1 )$인 경우의 수도 모두 $42$이다. (ⅱ) $( a , b , c ) =$$( 1 , 3 , 3 )$인 경우 $7$개의 문자 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{C}$를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $7$개 중 같은 것이 각각 $1$개, $3$개, $3$개 있는 순열의 수와 같으므로 $\displaystyle \frac{7 !}{3 ! \times 3 !}$$\displaystyle = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{( 3 \times 2 \times 1 ) \times ( 3 \times 2 \times 1 )}$$= 140$ $( a , b , c ) =$$( 3 , 1 , 3 )$, $( 3 , 3 , 1 )$인 경우의 수도 모두 $140$이다. 위의 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 경우의 수는 $3 \times 42 + 3 \times 140$$= 546$