홀짝 조건부확률

$a \times b + c + d$가 홀수인 사건을 $A$, 두 수 $a$, $b$가 모두 홀수인 사건을 $B$라 하자. $a \times b + c + d$가 홀수인 경우는 $a \times b$가 홀수이고 $c + d$가 짝수인 경우 또는 $a \times b$가 짝수이고 $c + d$가 홀수인 경우이다. (ⅰ) $a \times b$가 홀수이고 $c + d$가 짝수인 경우 순서쌍 $\left( a , b , c , d \right)$는 (홀수, 홀수, 홀수, 홀수) 또는 (홀수, 홀수, 짝수, 짝수)이므로 (홀수, 홀수, 홀수, 홀수)일 확률은 $\displaystyle \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} \times \frac{3}{7} \times \frac{2}{6} = \frac{5}{126}$ (홀수, 홀수, 짝수, 짝수)일 확률은 $\displaystyle \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} = \frac{5}{63}$$a \times b$가 홀수이고 $c + d$가 짝수일 확률은 $\displaystyle \frac{5}{126} + \frac{5}{63} = \frac{5}{42}$ (ⅱ) $a \times b$가 짝수이고 $c + d$가 홀수인 경우 순서쌍 $\left( a , b , c , d \right)$는 (홀수, 짝수, 홀수, 짝수) 또는 (홀수, 짝수, 짝수, 홀수) 또는 (짝수, 홀수, 홀수, 짝수) 또는 (짝수, 홀수, 짝수, 홀수) 또는 (짝수, 짝수, 홀수, 짝수) 또는 (짝수, 짝수, 짝수, 홀수)이므로 (홀수, 짝수, 홀수, 짝수)일 확률은 $\displaystyle \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} = \frac{5}{63}$ (홀수, 짝수, 짝수, 홀수)일 확률은 $\displaystyle \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} \times \frac{3}{7} \times \frac{4}{6} = \frac{5}{63}$ (짝수, 홀수, 홀수, 짝수)일 확률은 $\displaystyle \frac{4}{9} \times \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} = \frac{5}{63}$ (짝수, 홀수, 짝수, 홀수)일 확률은 $\displaystyle \frac{4}{9} \times \frac{5}{8} \times \frac{3}{7} \times \frac{4}{6} = \frac{5}{63}$ (짝수, 짝수, 홀수, 짝수)일 확률은 $\displaystyle \frac{4}{9} \times \frac{3}{8} \times \frac{5}{7} \times \frac{2}{6} = \frac{5}{126}$ (짝수, 짝수, 짝수, 홀수)일 확률은 $\displaystyle \frac{4}{9} \times \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{126}$ $a \times b$가 짝수이고 $c + d$가 홀수일 확률은 $\displaystyle \frac{5}{63} \times 4 + \frac{5}{126} \times 2 = \frac{20}{63} + \frac{5}{63} = \frac{25}{63}$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( A \right)} = \frac{5}{42} + \frac{25}{63} = \frac{65}{126}$ $a \times b + c + d$가 홀수이고, 두 수 $a$, $b$가 모두 홀수일 확률은 (ⅰ)에 의하여 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( A \cap B \right)} = \frac{5}{42}$ 따라서 $\mathrm{P} \mathit{\left( B | A \right)}$$\displaystyle = \frac{\mathrm{P} \mathit{\left( A \cap B \right)}}{\mathrm{P} \mathit{\left( A \right)}}$$\displaystyle = \frac{\frac{5}{42}}{\frac{65}{126}} = \frac{3}{13}$ [다른 풀이] $a \times b + c + d$가 홀수인 사건을 $A$, 두 수 $a$, $b$가 모두 홀수인 사건을 $B$라 하자. 네 수 $a$, $b$, $c$, $d$가 모두 짝수이면 조건을 만족시키지 않는다. 그러므로 네 수 $a$, $b$, $c$, $d$ 중 홀수의 개수는 $\mathrm{1}$ 이상이다. (ⅰ) 홀수의 개수가 $\mathrm{1}$인 경우 순서쌍 $\left( a , b , c , d \right)$는 (짝수, 짝수, 홀수, 짝수) 또는 (짝수, 짝수, 짝수, 홀수)이므로 $\displaystyle 2 \times \frac{\mathit{_{5}} \mathrm{P} \mathit{_{1}} \times \mathit{_{4}} \mathrm{P} \mathit{_{3}}}{\mathit{_{9}} \mathrm{P} \mathit{_{4}}} = \frac{5}{63}$ (ⅱ) 홀수의 개수가 $\mathrm{2}$인 경우 순서쌍 $\left( a , b , c , d \right)$는 (홀수, 홀수, 짝수, 짝수) 또는 (홀수, 짝수, 홀수, 짝수) 또는 (홀수, 짝수, 짝수, 홀수) 또는 (짝수, 홀수, 홀수, 짝수) 또는 (짝수, 홀수, 짝수, 홀수)이므로 $\displaystyle 5 \times \frac{\mathit{_{5}} \mathrm{P} \mathit{_{2}} \times \mathit{_{4}} \mathrm{P} \mathit{_{2}}}{\mathit{_{9}} \mathrm{P} \mathit{_{4}}} = \frac{25}{63}$ (ⅲ) 홀수의 개수가 $\mathrm{3}$인 경우 조건을 만족시키지 않는다. (ⅳ) 홀수의 개수가 $\mathrm{4}$인 경우 순서쌍 $\left( a , b , c , d \right)$는 (홀수, 홀수, 홀수, 홀수)이므로 $\displaystyle \frac{\mathit{_{5}} \mathrm{P} \mathit{_{4}}}{\mathit{_{9}} \mathrm{P} \mathit{_{4}}} = \frac{5}{126}$ (ⅰ)$\sim$(ⅳ)에 의하여 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( A \right)} = \frac{5}{63} + \frac{25}{63} + \frac{5}{126} = \frac{65}{126}$ $a \times b + c + d$가 홀수이고, 두 수 $a$, $b$가 모두 홀수인 경우는 순서쌍 $\left( a , b , c , d \right)$가 (홀수, 홀수, 짝수, 짝수) 또는 (홀수, 홀수, 홀수, 홀수)이므로 (ⅱ), (ⅳ)에 의하여 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( A \cap B \right)} = \frac{5}{63} + \frac{5}{126} = \frac{5}{42}$ 따라서 $\mathrm{P} \mathit{\left( B | A \right)}$$\displaystyle = \frac{\mathrm{P} \mathit{\left( A \cap B \right)}}{\mathrm{P} \mathit{\left( A \right)}}$$\displaystyle = \frac{\frac{5}{42}}{\frac{65}{126}} = \frac{3}{13}$