홀짝 조건 순서쌍

[출제의도] 중복조합을 활용하여 문제해결하기 $6$ 이하의 음이 아닌 네 정수 $y _{1} , y _{2} , y _{3} , y _{4}$에 대하여 $x _{1} = 2 y _{1} + 1$, $x _{2} = 2 y _{2} + 2$, $x _{3} = 2 y _{3} + 1$, $x _{4} = 2 y _{4} + 2$라 하면 $x _{1} + x _{2} + x _{3} + x _{4} = 34$에서 $( 2 y _{1} + 1 ) + ( 2 y _{2} + 2 ) + ( 2 y _{3} + 1 ) + ( 2 y _{4} + 2 ) = 34$ $y _{1} + y _{2} + y _{3} + y _{4} = 14$ $\cdots \cdots$ ㉠ 구하는 모든 순서쌍 $( x _{1} , x _{2} , x _{3} , x _{4} )$의 개수는 방정식 $y _{1} + y _{2} + y _{3} + y _{4} = 14$를 만족시키는 음이 아닌 네 정수 $y _{1} , y _{2} , y _{3} , y _{4}$의 모든 순서쌍 $( y _{1} , y _{2} , y _{3} , y _{4} )$에서 $y _{k} \geq 7$인 $4$이하의 자연수 $k$가 존재하는 순서쌍 $( y _{1} , y _{2} , y _{3} , y _{4} )$를 제외한 개수와 같다. (ⅰ) 방정식 $y _{1} + y _{2} + y _{3} + y _{4} = 14$를 만족시키는 음이 아닌 네 정수 $y _{1} , y _{2} , y _{3} , y _{4}$의 모든 순서쌍 $( y _{1} , y _{2} , y _{3} , y _{4} )$의 개수는 서로 다른 $4$개에서 중복을 허락하여 $14$개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 $\displaystyle \mathrm{{} _{4} H _{14} = _{17} C _{14} = _{17} C _{3} = \frac{17 \times 16 \times 15}{3 \times 2 \times 1} = 680}$ (ⅱ) $y _{k} \geq 7$인 $k$의 값이 $1$개인 경우 $y _{1} \geq 7$이라 하자. $z _{1} = y _{1} - 7$이라 하면 방정식 ㉠은 $z _{1} + y _{2} + y _{3} + y _{4} = 7$ 방정식 $z _{1} + y _{2} + y _{3} + y _{4} = 7$을 만족시키는 음이 아닌 네 정수 $z _{1} , y _{2} , y _{3} , y _{4}$의 모든 순서쌍 $( z _{1} , y _{2} , y _{3} , y _{4} )$의 개수는 서로 다른 $4$개에서 중복을 허락하여 $7$개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 $\mathrm{{} _{4} H _{7} = _{10} C _{3} = 120}$ 이때 $y _{1} \geq 7$인 $2$이상 $4$이하의 자연수 $l$이 존재하는 순서쌍 $\left( z _{1} , y _{1} , y _{3} , y _{4} \right)$는 $( 0 , 7 , 0 , 0 ) ,$$( 0 , 0 , 7 , 0 ) ,$$( 0 , 0 , 0 , 7 )$의 $3$가지이므로 $120 - 3 = 117$ 같은 방법으로 $y _{k} \geq 7$인 $2$이상 $4$ 이하의 자연수 $k$가 존재하는 순서쌍 $( y _{1} , y _{2} , y _{3} , y _{4} )$의 개수도 각각 $117$이다. 따라서 $y _{k} \geq 7$인 $k$의 값이 $1$개인 순서쌍 $( y _{1} , y _{2} , y _{3} , y _{4} )$의 개수는 $4 \times 117 = 468$ (ⅲ) $y _{k} \geq 7$인 $k$의 값이 $2$개인 경우 순서쌍 $( y _{1} , y _{2} , y _{3} , y _{4} )$는 $( 7 , 7 , 0 , 0 ) , ( 7 , 0 , 7 , 0 ) , ( 7 , 0 , 0 , 7 ) ,$ $( 0 , 7 , 7 , 0 ) , ( 0 , 7 , 0 , 7 ) , ( 0 , 0 , 7 , 7 )$ 의 $6$가지이다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 구하는 모든 순서쌍 $( x _{1} , x _{2} , x _{3} , x _{4} )$의 개수는 $680 - ( 468 + 6 ) = 206$