중학중학 미분류수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

회전이동 증명

문제

오른쪽 그림에서 삼각형 ABC\mathrm{ABC}와 삼각형 OBC\mathrm{OBC}는 정삼각형이다. 다음은 부채꼴 OBC\mathrm{OBC}의 호 위의 임의의 점P\mathrm{P}에 대하여

PA‾2=PB‾2+PC‾2\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} ^{2} = \overline{PB} ^{2} + \overline{PC} ^{2} 이 성립함을 증명한 것이다.

<증명> 점 C\mathrm{C}를 중심으로 삼각형 ABP\mathrm{ABP}를 시계방향으로 60∘60 ^\circ회전이동한 것을 삼각형 BOQ\mathrm{BOQ}라 하자. 이 때, ∠BPC=\mathrm{\angle} BPC =(가) (나)• O\mathrm{O} A\mathrm{A} B\mathrm{B} C\mathrm{C} P\mathrm{P} Q\mathrm{Q}
따라서, 삼각형 QBP\mathrm{QBP}에서 BQ‾2=PB‾2+PQ‾2\displaystyle \mathrm{\overline{BQ}} ^{2} = \overline{PB} ^{2} + \overline{PQ} ^{2}이 성립한다. 그런데, BQ‾=PA‾\displaystyle \mathrm{\overline{BQ}} = \overline{PA}, PQ‾=PC‾\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \overline{PC} 이므로 PA‾2=PB‾2+PC‾2\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} ^{2} = \overline{PB} ^{2} + \overline{PC} ^{2}

위 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) ①120∘120 ^\circ 정삼각형②120∘120 ^\circ 직각삼각형③145∘145 ^\circ 정삼각형④150∘150 ^\circ 직각삼각형⑤150∘150 ^\circ 정삼각형

정답 보기
⑤

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 도형의 성질을 이용하여 증명할 수 있다.

점 C를 중심으로 시계방향으로 삼각형 ABP를 60∘60 ^\circ 회전이동한 것을 삼각형 BOQ라 하자. 이 때, ∠BPC의 크기는 호 BC에 대한 중심각이 60∘60 ^\circ이므로 원주각의 성질에 의하여 ∠BPC==150∘150 ^\circ 이다. 또,CP‾=CQ‾\displaystyle \mathrm{\overline{CP}} = \overline{CQ},∠PCQ\mathrm{\angle} PCQ=60∘60 ^\circ 이므로 삼각형 CPQ는 정삼각형 이다. 따라서, 삼각형 QBP는 직각삼각형이므로 BQ‾2=PB‾2+PQ‾2\displaystyle \mathrm{\overline{BQ}} ^{2} = \overline{PB} ^{2} + \overline{PQ} ^{2}이 성립한다. 그런데, BQ‾=PA‾\displaystyle \mathrm{\overline{BQ}} = \overline{PA}, PQ‾=PC‾\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \overline{PC} 이므로 PA‾2=PB‾2+PC‾2\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} ^{2} = \overline{PB} ^{2} + \overline{PC} ^{2} 이다.

태그

#회전이동#피타고라스 정리#빈칸 채우기#중학

비슷한 문제 더 보기

중학 문제 모음중학 중학 미분류 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로