합의 비 극한

[출제의도] 수열의 합을 계산하여 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} ( 2 + a _{k} ) = 2 n + S _{n}$, $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} ( 2 k + a _{k} ) = n ( n + 1 ) + \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = n ^{2} + n + S _{n}$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum\limits _{k = 1} ^{n} ( 2 + a _{k} )}{\sum\limits _{k = 1} ^{n} ( 2 k + a _{k} )}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n + S _{n}}{n ^{2} + n + S _{n}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{2}{n} + \frac{S _{n}}{n ^{2}}}{1 + \frac{1}{n} + \frac{S _{n}}{n ^{2}}}$$\displaystyle = \frac{0 + \frac{1}{2}}{1 + 0 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{3}$