확률과 통계확률의 뜻과 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

합성함수 치역 확률

문제

집합 X={1,2,3},Y={1,2,3,4},Z={0,1}X = \{ 1 , 2 , 3 \} , Y = \{ 1 , 2 , 3 , 4 \} , Z = \{ 0 , 1 \}에 대하여 조건 (가)를 만족시키는 모든 함수 f:X→Yf : X \rightarrow Y 중에서 임의로 하나를 선택하고, 조건 (나)를 만족시키는 모든 함수 g:Y→Zg : Y \rightarrow Z 중에서 임의로 하나를 선택하여 합성함수 g∘f:X→Zg \circ f : X \rightarrow Z를 만들 때, 이 합성함수의 치역이 ZZ일 확률은 qp\displaystyle \frac{q}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp, qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

(가) XX의 임의의 두 원소 x1,x2x _{1} , x _{2}에 대하여 x1≠x2x _{1} \neq x _{2}이면 f(x1)≠f(x2)f ( x _{1} ) \neq f ( x _{2} )이다. (나) gg의 치역은 ZZ이다.

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해설

조건 (나)를 만족하는 함수 gg의 개수는 24−2=142 ^{4} - 2 = 14이고 함수 ff 각각에 대하여 g∘fg \circ f의 치역이 ZZ가 아닌 경우는 모두 0 또는 모두 1에 대응하는 경우이고 아래 그림과 같이 2가지 뿐이므로 구하는 확률은 1−214=67\displaystyle 1 - \frac{2}{14} = \frac{6}{7}

태그

#확률#함수의개수

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