합이 11인 순서쌍

[출제의도] 중복조합을 이용하여 추론하기 구하는 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$의 모든 순서쌍 $\left( a , b , c , d , e \right)$의 개수는 조건 (가), (나)를 모두 만족시키는 순서쌍 $\left( a , b , c , d , e \right)$에서 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ 중 짝수가 $\mathrm{2}$개 미만인 순서쌍 $\left( a , b , c , d , e \right)$를 제외한 것의 개수와 같다. (ⅰ) $a + b + c + d + e = 11$, $a + b$는 짝수인 경우 $c = c' + 1$, $d = d' + 1$, $e = e' + 1$ $\left( c' , d' , e' \right.$은 음이 아닌 정수) 라 하면 $a + b + \left( c' + 1 \right) + \left( d' + 1 \right) + \left( e' + 1 \right) = 11$ $a + b + c' + d' + e' = 8$ ⓐ $a + b = 2$인 경우 순서쌍 $( a , b )$는 $( 1 , 1 )$의 $\mathrm{1}$가지이고, $c' + d' + e' = 6$인 순서쌍 $\left( c' , d' , e' \right)$의 개수는 $\mathit{_{3}} {\mathrm{H}} \mathit{_{6}} = \mathit{_{8}} {\mathrm{C}} \mathit{_{6}} = 28$ 그러므로 구하는 경우의 수는 $1 \times 28 = 28$ ⓑ $a + b = 4$인 경우 순서쌍 $( a , b )$는 $( 1 , 3 )$, $( 2 , 2 )$, $( 3 , 1 )$의 $\mathrm{3}$가지이고, $c' + d' + e' = 4$인 순서쌍 $\left( c' , d' , e' \right)$의 개수는 $\mathit{_{3}} {\mathrm{H}} \mathit{_{4}} = \mathit{_{6}} {\mathrm{C}} \mathit{_{4}} = 15$ 그러므로 구하는 경우의 수는 $3 \times 15 = 45$ ⓒ $a + b = 6$인 경우 순서쌍 $( a , b )$는 $( 1 , 5 )$, $( 2 , 4 )$, $( 3 , 3 )$, $( 4 , 2 )$, $( 5 , 1 )$의 $\mathrm{5}$가지이고, $c' + d' + e' = 2$인 순서쌍 $\left( c' , d' , e' \right)$의 개수는 $\mathit{_{3}} {\mathrm{H}} \mathit{_{2}} = \mathit{_{4}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}} = 6$ 그러므로 구하는 경우의 수는 $5 \times 6 = 30$ ⓓ $a + b = 8$인 경우 순서쌍 $( a , b )$는 $( 1 , 7 )$, $( 2 , 6 )$, $( 3 , 5 )$, $( 4 , 4 )$, $( 5 , 3 )$, $( 6 , 2 )$, $( 7 , 1 )$의 $\mathrm{7}$가지이고, $c' + d' + e' = 0$인 순서쌍 $\left( c' , d' , e' \right)$의 개수는 $\mathrm{1}$그러므로 구하는 경우의 수는 $7 \times 1 = 7$ ⓐ$\sim$ⓓ에 의하여 구하는 순서쌍 $\left( a , b , c , d , e \right)$의 개수는 $28 + 45 + 30 + 7 = 110$ (ⅱ) $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ 중 짝수가 $\mathrm{2}$개 미만이면서 $a + b + c + d + e = 11$이고 $a + b$는 짝수인 경우 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$는 모두 홀수이어야 하므로 $a + b + c + d + e = 11$에서 $a = 2 a' + 1$, $b = 2 b' + 1$, $c = 2 c' + 1$, $d = 2 d' + 1$, $e = 2 e' + 1 \left( a' , b' , c' , d' , e' \right.$은 음이 아닌 정수$\left. \right)$ 라 하면 $a' + b' + c' + d' + e' = 3$인 순서쌍 $\left( a' , b' , c' , d' , e' \right)$의 개수는 $\mathit{_{5}} {\mathrm{H}} \mathit{_{3}} = \mathit{_{7}} {\mathrm{C}} \mathit{_{3}} = 35$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 모든 순서쌍 $\left( a , b , c , d , e \right)$의 개수는 $110 - 35 = 75$