미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

합과 일반항의 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 ∑k=1nak=n+2\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = \sqrt{n + 2} 를 만족시킬 때, lim⁡n→∞nan\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} a _{n}의 값은? [3점] ①12\displaystyle \frac{1}{2}②11③32\displaystyle \frac{3}{2}④22⑤52\displaystyle \frac{5}{2}

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①

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해설

n≥2n \geq 2일 때, an=∑k=1nak−∑k=1n−1ak=n+2−n+1\displaystyle a _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} - \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} a _{k} = \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}이므로 lim⁡n→∞nan\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} a _{n}=lim⁡n→∞n(n+2−n+1)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} \left( \sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1} \right) =lim⁡n→∞nn+2+n+1\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1}} =lim⁡n→∞11+2n+1+1n=11+1=12\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}

태그

#합과 일반항#무리식의 극한

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