미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

합으로 정의된 수열의 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 ∑k=1nak(k−1)!=3(n+2)!\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{a _{k}}{\left( k - 1 \right) !} = \frac{3}{\left( n + 2 \right) !} 을 만족시킨다. lim⁡n→∞(a1+n2an)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( a _{1} + n ^{2} a _{n} \right)}의 값은? [3점] ①−72\displaystyle - \frac{7}{2}②−3- 3③−52\displaystyle - \frac{5}{2}④−2- 2⑤−32\displaystyle - \frac{3}{2}

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③

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해설

[출제의도] 수열의 극한에 대한 성질을 이해한다. ∑k=1nak(k−1)!=3(n+2)!\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{a _{k}}{\left( k - 1 \right) !} = \frac{3}{\left( n + 2 \right) !}이므로 n=1n = 1일 때, a10!=33!\displaystyle \frac{a _{1}}{0 !} = \frac{3}{3 !}에서 a1=12\displaystyle a _{1} = \frac{1}{2} n≥2n \geq 2일 때, an(n−1)!\displaystyle \frac{a _{n}}{\left( n - 1 \right) !}=∑k=1nak(k−1)!−∑k=1n−1ak(k−1)!\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{a _{k}}{\left( k - 1 \right) !} - \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{a _{k}}{\left( k - 1 \right) !} =3(n+2)!−3(n+1)!\displaystyle = \frac{3}{\left( n + 2 \right) !} - \frac{3}{\left( n + 1 \right) !} ana _{n}=3(n−1)!(n+2)!−3(n−1)!(n+1)!\displaystyle = \frac{3 \left( n - 1 \right) !}{\left( n + 2 \right) !} - \frac{3 \left( n - 1 \right) !}{\left( n + 1 \right) !} =3(n+2)(n+1)n−3(n+1)n\displaystyle = \frac{3}{\left( n + 2 \right) \left( n + 1 \right) n} - \frac{3}{\left( n + 1 \right) n} =−3n−3(n+2)(n+1)n\displaystyle = \frac{- 3 n - 3}{\left( n + 2 \right) \left( n + 1 \right) n} =−3n(n+2)\displaystyle = \frac{- 3}{n \left( n + 2 \right)} lim⁡n→∞(a1+n2an)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( a _{1} + n ^{2} a _{n} \right)}=lim⁡n→∞(12−3nn+2)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{1}{2} - \frac{3 n}{n + 2} \right)} =12−3=−52\displaystyle = \frac{1}{2} - 3 = \mathit{-} \frac{5}{2}

태그

#수열의 합과 일반항#수열의 극한

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