합으로 정한 수열의 극한

등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차는 $\mathrm{3}$이므로 $a _{n} = 3 + \left( n - 1 \right) \times 3 = 3 n$ $\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} \left( b _{k} \right) ^{2} = n ^{3} - n + 3$이라 하면 $n \geq 2$일 때, $a _{n} \left( b _{n} \right) ^{2}$$= S _{n} - S _{n - 1}$$= \left( n ^{3} - n + 3 \right) - \left\{ \left( n - 1 \right) ^{3} - \left( n - 1 \right) + 3 \right\}$ $= 3 n ^{2} - 3 n = 3 n \left( n - 1 \right)$ $\left( b _{n} \right) ^{2} = n - 1$ $n = 1$일 때, $S _{1} = a _{1} \left( b _{1} \right) ^{2} = 3$에서 $\left( b _{1} \right) ^{2} = 1$ 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$의 모든 항이 양수이므로 $\displaystyle b _{n} = \sqrt{n - 1} \left( n \geq 2 \right)$, $b _{1} = 1$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{n}}{b _{n} b _{2 n}}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{3 n}{\sqrt{n - 1} \sqrt{2 n - 1}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{n}} \sqrt{2 - \frac{1}{n}}} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$