미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

함수와 역함수 사이 거리 극한

문제

함수 f(x)=x2−2(x≥0)f ( x ) = x ^{2} - 2 ( x \geq 0 )의 역함수를 g(x)g ( x )라 하고, 두 곡선 y=f(x)y = f ( x )와 y=g(x)y = g ( x )가 직선 x=t(t>2)x = t ( t > 2 )와 만나는 점을 각각 P,Q\mathrm{P} , Q라 하자. 선분 PQ\mathrm{PQ}의 길이를 h(t)h ( t )라 할 때, lim⁡t→2+h(t)t−2\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 2 +} {} \frac{h ( t )}{t - 2}의 값은? [4점]

y=f(x)y = f \left( x \right) y=g(x)y = g \left( x \right)

①74\displaystyle \frac{7}{4}②94\displaystyle \frac{9}{4}③114\displaystyle \frac{11}{4}④134\displaystyle \frac{13}{4}⑤154\displaystyle \frac{15}{4}

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⑤

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해설

[출제의도] 함수의 극한을 이용한 도형 문제 해결하기 x=tx = t와 y=f(x)y = f ( x )가 만나는 점 P\mathrm{P}의 좌표는 (t,t2−2)( t , t ^{2} - 2 )이고 x=tx = t와 y=g(x)y = g ( x )가 만나는 점 Q\mathrm{Q}의 좌표는 (t,t+2)\displaystyle ( t , \sqrt{t + 2} )이므로 선분 PQ\mathrm{PQ}의 길이는 h(t)=t2−2−t+2\displaystyle h ( t ) = t ^{2} - 2 - \sqrt{t + 2}이다.

y=f(x)y = f \left( x \right) y=g(x)y = g \left( x \right)

lim⁡t→2+h(t)t−2=lim⁡t→2+t2−2−t+2t−2\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 2 +} {} \frac{h ( t )}{t - 2} = \lim\limits _{t \rightarrow 2 +} {} \frac{t ^{2} - 2 - \sqrt{t + 2}}{t - 2} =lim⁡t→2+(t2−4)+(2−t+2)t−2\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 2 +} {} \frac{\left( t ^{2} - 4 \right) + \left( 2 - \sqrt{t + 2} \right)}{t - 2} =lim⁡t→2+{(t+2)+2−t+2t−2}\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 2 +} {\left. \left\{ \left( t + 2 \right) + \frac{2 - \sqrt{t + 2}}{t - 2} \right\} \right.} =lim⁡t→2+{(t+2)+2−t(t−2)(2+t+2)}=154\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 2 +} {\left. \left\{ \left( t + 2 \right) + \frac{2 - t}{\left( t - 2 \right) \left( 2 + \sqrt{t + 2} \right)} \right\} \right.} = \frac{15}{4} [다른 풀이] lim⁡t→2+h(t)t−2=lim⁡t→2+t2−2−t+2t−2\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 2 +} {} \frac{h ( t )}{t - 2} = \lim\limits _{t \rightarrow 2 +} {} \frac{t ^{2} - 2 - \sqrt{t + 2}}{t - 2} =lim⁡t→2+(t2−2−t+2)(t2−2+t+2)(t−2)(t2−2+t+2)\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 2 +} {} \frac{( t ^{2} - 2 - \sqrt{t + 2} ) ( t ^{2} - 2 + \sqrt{t + 2} )}{( t - 2 ) ( t ^{2} - 2 + \sqrt{t + 2} )} =lim⁡t→2+(t−2)(t3+2t2−1)(t−2)(t2−2+t+2)\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 2 +} {} \frac{( t - 2 ) ( t ^{3} + 2 t ^{2} - 1 )}{( t - 2 ) ( t ^{2} - 2 + \sqrt{t + 2} )} =lim⁡t→2+t3+2t2−1t2−2+t+2=154\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 2 +} {} \frac{t ^{3} + 2 t ^{2} - 1}{t ^{2} - 2 + \sqrt{t + 2}} = \frac{15}{4}

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#함수의 극한#역함수#유리화

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