학년 조건 원순열

구하는 경우의 수는 조건 (가)를 만족시키도록 $8$명의 학생을 원형으로 배열하는 모든 경우에서 ${\mathrm{A}}$와 ${\mathrm{B}}$가 이웃하는 경우를 제외한 경우의 수이다. 조건 (가)에 의하여 각 학생은 적어도 한 명의 같은 학년 학생과 이웃한다. 그러므로 같은 학년인 $4$명의 학생은 모두 붙어 앉거나 $2$명씩 나누어 앉아야 한다. 이 두 경우는 각 학년의 학생 $2$명씩을 각각 한 학생으로 생각하여 $4$명의 학생을 원형으로 배열하는 경우와 같다.

(ⅰ) 조건 (가)를 만족시키도록 배열하는 모든 경우 ${\mathrm{A}}$와 함께 한 학생으로 생각할 $2$학년 학생, ${\mathrm{B}}$와 함께 한 학생으로 생각할 $3$학년 학생을 정하는 경우의 수는 $\mathit{_{3}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} \times \mathit{_{3}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} = 9$ 각 학년의 학생 $2$명씩을 각각 한 학생으로 생각하여 $4$명의 학생을 원형으로 배열하는 경우의 수는 $\left( 4 - 1 \right) ! = 6$ 이 각각에 대하여 한 학생으로 생각하고 배열한 각각의 두 학생이 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 $2 ! \times 2 ! \times 2 ! = 16$ 그러므로 구하는 경우의 수는 $9 \times 6 \times 16 = 864$ (ⅱ) 조건 (가)를 만족시키도록 배열하는 모든 경우 중 ${\mathrm{A}}$와 ${\mathrm{B}}$가 이웃하는 경우 ${\mathrm{A}}$와 함께 한 학생으로 생각할 $2$학년 학생을 ${\mathrm{P}}$, ${\mathrm{B}}$와 함께 한 학생으로 생각할 $3$학년 학생을 ${\mathrm{Q}}$라 하자. ${\mathrm{P}}$, ${\mathrm{Q}}$를 정하는 경우의 수는 $\mathit{_{3}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} \times \mathit{_{3}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} = 9$ ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$, ${\mathrm{P}}$, ${\mathrm{Q}}$를 한 학생으로 생각하고 남은 $2$명의 $2$학년 학생, $2$명의 $3$학년 학생을 각각 한 학생으로 생각하여 $3$명의 학생을 원형으로 배열하는 경우의 수는 $\left( 3 - 1 \right) ! = 2$ 이 각각에 대하여 한 학생으로 생각하고 배열한 네 학생 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$, ${\mathrm{P}}$, ${\mathrm{Q}}$가 서로 자리를 바꾸는 경우는 ${\mathrm{PABQ}}$ 또는 ${\mathrm{QBAP}}$의 $2$가지이고, ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$, ${\mathrm{P}}$, ${\mathrm{Q}}$를 제외한 $4$명의 학생 중 한 학생으로 생각하고 배열한 각각의 두 학생이 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 $2 ! \times 2 ! = 4$ 그러므로 구하는 경우의 수는 $9 \times 2 \times 2 \times 4 = 144$

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 경우의 수는 $864 - 144 = 720$