미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

행렬 성분 합의 극한

문제

nn차 정사각행렬 AA의 (i,j)( i , j ) 성분 aija _{ij}를 aij=(i−1)n+ja _{ij} = ( i - 1 ) n + j (단, 1≤i≤n1 \leq i \leq n, 1≤j≤n1 \leq j \leq n) 이라 하자. nn이하의 자연수 kk에 대하여 f(k)f ( k )를 행렬 AA의 (k,n−k+1)( k , n - k + 1 ) 성분이라 할 때, 12lim⁡n→∞∑k=1nf(k)n3\displaystyle 12 \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\sum\limits _{k = 1} ^{n} f ( k )}{n ^{3}}} 의 값을 구하시오. (단, nn은 자연수이다.) [4점]

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해설

f(k)=(k−1)n+n−k+1f ( k ) = \left( k - 1 \right) n + n - k + 1=(n−1)k+1= \left( n - 1 \right) k + 1 이므로 ∑k=1nf(k)=∑k=1n{(n−1)k+1}\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} f ( k ) = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left\{ ( n - 1 ) k + 1 \right\} =(n−1)n(n+1)2+n\displaystyle = ( n - 1 ) \frac{n ( n + 1 )}{2} + n =12n(n2+1)\displaystyle = \frac{1}{2} n \left( n ^{2} + 1 \right) lim⁡n→∞12∑k=1nf(k)n3=lim⁡n→∞6n(n2+1)n3=6\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{12 \sum\limits _{k = 1} ^{n} f ( k )}{n ^{3}}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{6 n \left( n ^{2} + 1 \right)}{n ^{3}}} = 6

태그

#수열의 극한#행렬 성분#시그마

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