교집합 조건 원소 합

[출제의도] 방정식을 풀어 두 집합의 합집합의 원소를 구할 수 있는가를 묻는 문항이다. $A \cap B = \left\{ 2 \right\}$이므로 $A = \left\{ 1 , a ^{3} - 3 a \right\}$에서 $a ^{3} - 3 a = 2$, $( a + 1 ) ^{2} ( a - 2 ) = 0$ ∴ $a = - 1$또는 $a = 2$ (i) $a = - 1$일 때, $B = \left\{ a + 2 , a ^{2} - a \right\} = \left\{ 1 , 2 \right\}$이므로 적당하지 않다. (ii) $a = 2$일 때, $B = \left\{ a + 2 , a ^{2} - a \right\} = \left\{ 2 , 4 \right\}$이므로 적당하다. (i), (ii)에서 $a = 2$이고 $A \cup B = \left\{ 1 , 2 , 4 \right\}$이다. 따라서 $A \cup B$의 모든 원소의 합은 $7$이다.