미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

교점 거리 차 극한

문제

[13 ~ 14] 자연수 nn에 대하여 곡선 y=2nx\displaystyle y = \frac{2 n}{x}과 직선 y=−xn+3\displaystyle y = - \frac{x}{n} + 3의 두 교점을 An\mathrm{A} _{\mathit{n}}, Bn\mathrm{B} _{\mathit{n}}이라 할 때, 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

선분 AnBn\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}}의 길이를 lnl _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞(ln+1−ln)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( l _{n + 1} - l _{n} \right)}의 값은? [3점] ①12\displaystyle \frac{1}{2}②22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}③11④2\displaystyle \sqrt{2}⑤22

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③

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해설

[출제의도] 수열의 성질을 이해하고 수열의 극한값을 구한다. y=2nx\displaystyle y = \frac{2 n}{x}에 y=−xn+3\displaystyle y = - \frac{x}{n} + 3를 대입하면 2nx=−xn+3\displaystyle \frac{2 n}{x} = - \frac{x}{n} + 3 2n2=−x2+3nx2 n ^{2} = - x ^{2} + 3 nx x2−3nx+2n2=0x ^{2} - 3 nx + 2 n ^{2} = 0 (x−n)(x−2n)=0( x - n ) ( x - 2 n ) = 0 ∴ x=nx = n 또는 x=2nx = 2 n 즉, An(n,2){\mathrm{A}} _{n} ( n , 2 ), Bn(2n,1)\mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{n}}} ( 2 n , 1 ) ∴ ln=(2n−n)2+(1−2)2=n2+1\displaystyle l _{n} = \sqrt{( 2 n - n ) ^{2} + ( 1 - 2 ) ^{2}} = \sqrt{n ^{2} + 1} lim⁡n→∞(ln+1−ln)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( l _{n + 1} - l _{n} \right)} =lim⁡n→∞((n+1)2+1−n2+1)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \sqrt{( n + 1 ) ^{2} + 1} - \sqrt{n ^{2} + 1} \right)} =lim⁡n→∞(n2+2n+2−n2+1)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \sqrt{n ^{2} + 2 n + 2} - \sqrt{n ^{2} + 1} \right)} =lim⁡n→∞n2+2n+2−(n2+1)n2+2n+2+n2+1\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{n ^{2} + 2 n + 2 - ( n ^{2} + 1 )}{\sqrt{n ^{2} + 2 n + 2} + \sqrt{n ^{2} + 1}}} =lim⁡n→∞2n+1n2+2n+2+n2+1\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 n + 1}{\sqrt{n ^{2} + 2 n + 2} + \sqrt{n ^{2} + 1}}} =lim⁡n→∞2+1n1+2n+2n2+1+1n2\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 + \frac{1}{n}}{\sqrt{1 + \frac{2}{n} + \frac{2}{n ^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n ^{2}}}}} =1= 1

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