미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

교대합 수열 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 자연수 nn에 대하여 ∑k=1n(−1)kak=n3\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} ( - 1 ) ^{k} a _{k} = n ^{3} 을 만족시킬 때, lim⁡n→∞a2n−1+a2nn\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{a _{2n-1} + a _{2n}}{n}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 수열의 합과 일반항의 관계를 이용하여 수열의 극한값을 구한다. −a1=1- a _{1} = 1이므로 a1=−1a _{1} = - 1이다. Sn=∑k=1n(−1)kak\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} ( - 1 ) ^{k} a _{k}라 하면 (−1)nan( - 1 ) ^{n} a _{n} =Sn−Sn−1= S _{n} - S _{n - 1} =∑k=1n(−1)kak−∑k=1n−1(−1)kak\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} ( - 1 ) ^{k} a _{k} - \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} ( - 1 ) ^{k} a _{k} =n3−(n−1)3= n ^{3} - ( n - 1 ) ^{3} =3n2−3n+1= 3 n ^{2} - 3 n + 1 (n≥2n \geq 2) 따라서 a2n=12n2−6n+1a _{2 n} = 12 n ^{2} - 6 n + 1 a2n−1=−12n2+18n−7a _{2 n - 1} = - 12 n ^{2} + 18 n - 7 이므로 a2n−1+a2n=12n−6a _{2 n - 1} + a _{2 n} = 12 n - 6 ∴ lim⁡n→∞a2n−1+a2nn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a _{2 n - 1} + a _{2 n}}{n} =lim⁡n→∞12n−6n=12\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{12 n - 6}{n} = 12

태그

#수열의 합과 일반항#수열의 극한

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