미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

계승으로 정의된 수열의 극한

문제

자연수 $p$ 에 대하여 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 의 일반항이 $\displaystyle a _{n} = \frac{( n ! ) ^{4}}{( pn ) !}$ 이다. $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{a _{n}}{a _{n + 1}} = \alpha ( \alpha$ 는 0이 아닌 상수)일 때, $\log _{2} \alpha$ 의 값은? [4점] ①0②2③4④6⑤8

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⑤

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해설

$\displaystyle \frac{a _{n}}{a _{n + 1}} = \frac{( n ! ) ^{4}}{( pn ) !} \times \frac{( p ( n + 1 ) ) !}{( ( n + 1 ) ! ) ^{4}}$ $\displaystyle = \frac{( pn + 1 ) ( pn + 2 ) \cdots ( pn + p )}{( n + 1 ) ^{4}}$ 인데, 극한값이 존재 하려면 $p = 4$ 이고 $\displaystyle \alpha = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{a _{n}}{a _{n + 1}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{( 4 n + 1 ) ( 4 n + 2 ) ( 4 n + 3 ) ( 4 n + 4 )}{( n + 1 ) ^{4}} = 2 ^{8}$ $\therefore$ $\log _{2} \alpha = \log _{2} 2 ^{8} = 8$

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