격자점 개수 소인수

[출제의도] 이차함수의 그래프를 이해하고 조건에 맞는 점의 개수를 구한다. $x$좌표에 따라 경우를 나누고 $y$좌표가 $x$좌표를 제곱한 값보다 작은 점들의 개수를 구하면, $x$좌표가 $1$일 때 $0$(개) $x$좌표가 $2$일 때 $2 ^{2} - 1 = 3$(개) $x$좌표가 $3$일 때 $3 ^{2} - 1 = 8$(개) $x$좌표가 $4$일 때 $4 ^{2} - 1 = ( 4 - 1 ) ( 4 + 1 ) = 15$(개) 와 같은 규칙이 나타나므로 $x$좌표가 $a$일 때, 점의 개수 $N = a ^{2} - 1$이다. 그러므로 $x$좌표가 $43$일 때 점의 개수 $N$을 구하면, $43 ^{2} - 1 = ( 43 - 1 ) ( 43 + 1 )$$= 42 \times 44$$= 2 ^{3} \times 3 \times 7 \times 11$ 따라서 자연수 $N$의 소인수는 $2 , 3 , 7 , 11$ 이므로 자연수 $N$의 소인수가 될 수 없는 것은 $5$ [참고] $x = a$일 때 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 자연수이고 $y$좌표가 $x$좌표를 제곱한 값보다 작은 점들의 개수는 $a ^{2} - 1$이고 $a ^{2} - 1 = ( a + 1 ) ( a - 1 )$이다.