미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

계차수열 합 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이

{\displaystyle \begin{cases} \begin{matrix} \\ \\ \\ \end{matrix} \end{cases}a2n−1=2n+1−3a _{2n-1} = 2 ^{n+1} - 3(n≥1n \geq 1)
a2na _{2n}=4n−1+2n= 4 ^{n-1} + 2 ^{n}(n≥1n \geq 1)

일 때, {an}\left\{ a _{n} \right\}의 계차수열을 {bn}\left\{ b _{n} \right\}이라 하자. 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}의 첫째항부터 제nn항까지의 합을 TnT _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞T4nT2n−1\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{T _{4n}}{T _{2n-1}}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

계차수열의 정의에 의하여 an+1a _{n+1}=a1+∑k=1nbn\displaystyle = a _{1} + \sum\limits _{k=1} ^{n} b _{n}=a1+Tn= a _{1} + T _{n}이므로 Tn=an+1−a1T _{n} = a _{n+1} - a _{1}이다. 따라서 T4nT _{4n}=a4n+1−a1= a _{4n+1} - a _{1} =(22n+2−3)−1= \left( 2 ^{2n+2} - 3 \right) - 1 (∵ 4n+1=2(2n+1)−14 n + 1 = 2 ( 2 n + 1 ) - 1) =4n+1−4= 4 ^{n+1} - 4 이고 T2n−1T _{2n-1}=a2n−a1= a _{2n} - a _{1}=(4n−1+2n)−1= \left( 4 ^{n-1} + 2 ^{n} \right) - 1 이다. ∴ lim⁡n→∞T4nT2n−1\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{T _{4n}}{T _{2n-1}}=lim⁡n→∞4n+1−44n−1+2n−1\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{4 ^{n+1} - 4}{4 ^{n-1} + 2 ^{n} - 1} =lim⁡n→∞4−44n14+12n−14n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{4 - \frac{4}{4 ^{n}}}{\frac{1}{4} + \frac{1}{2 ^{n}} - \frac{1}{4 ^{n}}} =16= 16

태그

#계차수열#수열의 극한

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