귀납적으로 정의된 수열의 극한

준 식의 양 변에 역수를 취하면 $\displaystyle \frac{1}{a _{n+1}} = 3 n + \frac{1}{a _{n}}$ $\displaystyle \therefore \frac{1}{a _{n+1}} - \frac{1}{a _{n}} = 3 n \cdots$(1) 즉, 수열 $\displaystyle \left\{ \frac{1}{a _{n}} \right\}$은 계차수열의 초항이 $3$, 공차가 $3$인 등차수열이다. 그러므로 $\displaystyle \frac{1}{a _{n}} = \frac{1}{a _{1}} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} 3 k = 3 + 3 \cdot \frac{1}{2} n ( n - 1 )$$\displaystyle = \frac{3}{2} \left( n ^{2} - n + 2 \right)$ $\displaystyle \therefore a _{n} = \frac{2}{3 ( n ^{2} - n + 2 )}$ 따라서, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} n ^{2} \cdot a _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} n ^{2} \cdot \frac{2}{3 ( n ^{2} - n + 2 )} = \frac{2}{3}$