미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

귀납적으로 정의된 점의 극한 위치

문제

실수 x1x _{1}에 대하여 함수 f(x)=2x(1−x)f ( x ) = 2 x ( 1 - x )의 그래프에 있는 점 Pn(xn,yn){\mathrm{P}} _{n} ( x _{n} , y _{n} )을 다음과 같이 귀납적으로 정의한다. P1=P1(x1,y1)=P1(x1,f(x1)),{\mathrm{P}} _{1} = {\mathrm{P}} _{1} ( x _{1} , y _{1} ) = {\mathrm{P}} _{1} ( x _{1} , f ( x _{1} ) ) , Pn+1=Pn+1(xn+1,yn+1)=Pn+1(yn,f(yn))(n=1,2,3,⋯ ){\mathrm{P}} _{n+1} = {\mathrm{P}} _{n+1} ( x _{n+1} , y _{n+1} ) = {\mathrm{P}} _{n+1} ( y _{n} , f ( y _{n} ) ) ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) 이때 <보기>에서 참인 명제만을 있는 대로 고른 것은?

<보 기>
ㄱ. x1≠12\displaystyle x _{1} \neq \frac{1}{2}일 때, an=log⁡∣1−2xn∣a _{n} = \log | 1 - 2 x _{n} |이라 하면, an=2n−1log⁡∣1−2x1∣a _{n} = 2 ^{n-1} \log | 1 - 2 x _{1} |이다. ㄴ. 0<x1<10 < x _{1} < 1이고 x1≠12\displaystyle x _{1} \neq \frac{1}{2}일 때, nn의 값이 커짐에 따라 점 Pn{\mathrm{P}} _{n}은 점 (12,12)\displaystyle \left( \frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right)에 한없이 가까워진다. ㄷ. x1<0x _{1} < 0일 때 nn의 값이 커짐에 따라 점 Pn{\mathrm{P}} _{n}은 점 (0,0)( 0 , 0 )에 한없이 가까워진다.

①ㄴ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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②

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해설

ㄱ. 1−2xn+11 - 2 x _{n+1}=1−2yn= 1 - 2 y _{n}=1−2f(xn)= 1 - 2 f ( x _{n} ) =1−4xn(1−xn)= 1 - 4 x _{n} ( 1 - x _{n} )=(1−2xn)2= ( 1 - 2 x _{n} ) ^{2} log⁡∣1−2xn+1∣=2log⁡∣1−2xn∣\log | 1 - 2 x _{n+1} | = 2 \log | 1 - 2 x _{n} |이므로 an+1=2ana _{n+1} = 2 a _{n} ∴an=a1⋅2n−1=2n−1⋅log⁡∣1−2x1∣\therefore a _{n} = a _{1} \cdot 2 ^{n-1} = 2 ^{n-1} \cdot \log | 1 - 2 x _{1} | (참) ㄴ. 0<x1<10 < x _{1} < 1일 때, 0<∣1−2x1∣<10 < | 1 - 2 x _{1} | < 1이므로 log⁡∣1−2x1∣<0\log | 1 - 2 x _{1} | < 0 ∴ lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n}=−∞= - \infty (∵ an=2n−1⋅log⁡∣1−2x1∣a _{n} = 2 ^{n-1} \cdot \log | 1 - 2 x _{1} |) an=log⁡∣1−2xn∣a _{n} = \log | 1 - 2 x _{n} |이므로 an→−∞a _{n} \rightarrow - \infty이려면 ∣1−2xn∣→0| 1 - 2 x _{n} | \rightarrow 0이어야 한다. ∴lim⁡n→∞xn=12\displaystyle \therefore \lim\limits _{n\rightarrow \infty} x _{n} = \frac{1}{2}, lim⁡n→∞yn\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} y _{n}=lim⁡n→∞f(xn)\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} f ( x _{n} )=f(12)\displaystyle = f \left( \frac{1}{2} \right)=12\displaystyle = \frac{1}{2} (참) ㄷ. x1<0x _{1} < 0일 때, 1−2x1>11 - 2 x _{1} > 1이므로 log⁡∣1−2x1∣>0\log | 1 - 2 x _{1} | > 0 ∴ lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n}=−∞= - \infty (∵ an=2n−1⋅log⁡∣1−2x1∣a _{n} = 2 ^{n-1} \cdot \log | 1 - 2 x _{1} |) an=log⁡∣1−2xn∣a _{n} = \log | 1 - 2 x _{n} |이므로 an→∞a _{n} \rightarrow \infty이려면 ∣1−2xn∣→∞| 1 - 2 x _{n} | \rightarrow \infty이어야 한다. 즉, lim⁡n→∞∣xn∣=∞\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} | x _{n} | = \infty이어야 한다. (거짓)

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