확률과 통계순열과 조합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

과녁 화살 비둘기집 원리

문제

어느 양궁선수가 한 변의 길이가 aa인 정사각형 모양의 과녁에 1010개의 화살을 쏘아 모두 맞춘다고 하자. 과녁에 꽂힌 1010개의 화살 중 두 개의 화살 사이의 거리가 32\displaystyle 3 \sqrt{2} 이하인 것이 반드시 존재하기 위한 aa의 최대값을 kk라 할 때, 5k5 k의 값을 구하시오. [4점]

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45

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해설

한 변의 길이가 aa인 정사각형을 99등분하면 한 변의 길이가 a3\displaystyle \frac{a}{3}인 정사각형이 99개 만들어진다. 이 때, 오른쪽 그림과 같이 99개의 정사각형 중 어느 한 정사각형의 내부 또는 경계에는 적어도 22개의 화살이 들어가므로 두 화살 사이의 거리가 32\displaystyle 3 \sqrt{2} 이하인 것이 반드시 존재하려면 작은 정사각형의 대각선의 길이가 32\displaystyle 3 \sqrt{2} 보다 작거나 같아야 한다. 즉, 23a≤32\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3} a \leq 3 \sqrt{2} 이므로 a≤9a \leq 9 k=9k = 9 이므로 ∴ 5k=455 k = 45

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#이산수학#비둘기집 원리

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