확률과 통계순열과 조합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

관광지 경유 최단경로

문제

그림과 같이 가로 방향 도로와 세로 방향 도로가 각각 서로 평행한 도로망이 있다. 도로망 위의 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 지점에 숙소가 있고, $\mathrm{P}$ , $\mathrm{Q}$ , $\mathrm{R}$ , $\mathrm{S}$ 지점에 관광지가 있다. 부모님을 모시고 효도관광을 온 어느 가족이 $\mathrm{A}$ 지점에 있는 숙소를 출발하여 $\mathrm{P}$ , $\mathrm{Q}$ , $\mathrm{R}$ , $\mathrm{S}$ 지점에 있는 관광지 중 두 곳을 관광한 후 $\mathrm{B}$ 지점에 있는 숙소로 가기로 하였을 때, 이 가족이 도로망을 따라 이동할 수 있는 최단 경로의 수를 구하시오. (단, $\mathrm{P}$ , $\mathrm{Q}$ , $\mathrm{R}$ , $\mathrm{S}$ 지점에서 직선도로 $l$ 까지의 거리는 모두 같다.) [4점]

$\mathbf{l}$

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해설

[출제의도] 순열을 이용하여 실생활 문제해결하기 (ⅰ) $\mathrm{A} \rightarrow P \rightarrow Q \rightarrow B$ 경로의 경우: $\displaystyle 1 \times 1 \times \frac{6 !}{4 ! 2 !} = 15$ (ⅱ) $\mathrm{A} \rightarrow P \rightarrow R \rightarrow B$ 경로의 경우: $\displaystyle 1 \times 1 \times \frac{5 !}{4 !} = 5$ (ⅲ) $\mathrm{A} \rightarrow P \rightarrow S \rightarrow B$ 경로의 경우: $1 \times 1 \times 1 = 1$ (ⅳ) $\mathrm{A} \rightarrow Q \rightarrow R \rightarrow B$ 경로의 경우: $\displaystyle \frac{5 !}{4 !} \times 1 \times \frac{5 !}{4 !} = 25$ (ⅴ) $\mathrm{A} \rightarrow Q \rightarrow S \rightarrow B$ 경로의 경우: $\displaystyle \frac{5 !}{4 !} \times 1 \times 1 = 5$ (ⅵ) $\mathrm{A} \rightarrow R \rightarrow S \rightarrow B$ 경로의 경우: $\displaystyle \frac{6 !}{4 ! 2 !} \times 1 \times 1 = 15$ 따라서 총 $66$ 가지이다.

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